어떤 문제인가
이 문제는 역함수의 미분법과 지수함수의 미분, 그리고 삼차방정식의 풀이를 결합한 문제입니다. 역함수를 직접 구하기는 매우 어렵기 때문에, 원래 함수와 역함수 미분 사이의 관계를 이용해야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 역함수의 미분 공식: 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 서로 역함수 관계일 때, $g'(a) = \frac{1}{f'(g(a))}$ 가 성립합니다.
- 지수함수의 미분: $(e^{kx})' = k e^{kx}$ 임을 이용해 $f'(x)$를 구합니다.
- 치환을 통한 방정식 풀이: 복잡한 지수식은 $e^x = t$ ($t > 0$)로 치환하여 친숙한 다항방정식으로 바꾸어 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 역함수의 미분 공식을 이용해 식 정리하기
우리가 구해야 하는 값은 $a + f'(g(a))$입니다. 문제에서 $g'(a) = \frac{1}{8}$이라고 주어졌네요.
역함수의 미분 공식에 의해 다음이 성립합니다.
$$g'(a) = \frac{1}{f'(g(a))}$$
이 식에 $g'(a) = \frac{1}{8}$을 대입해 볼까요?
$$\frac{1}{f'(g(a))} = \frac{1}{8} \implies f'(g(a)) = 8$$
여기서 계산을 편하게 하기 위해 $g(a) = b$라고 놓겠습니다. 역함수의 성질에 의해 $f(b) = a$가 됩니다.
그렇다면 우리가 구해야 할 식 $a + f'(g(a))$는 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$\text{구하는 값} = a + f'(b) = a + 8$$
이제 우리는 $f'(b) = 8$을 만족하는 $b$를 찾고, 그 $b$를 이용해 $a = f(b)$를 구하면 됩니다!
2단계: $f'(b) = 8$을 만족하는 $b$ 구하기
먼저 $f(x)$를 미분하여 $f'(x)$를 구합시다.
$$f(x) = e^{3x} - 3e^{2x} + 4e^x$$
$$f'(x) = 3e^{3x} - 6e^{2x} + 4e^x$$
여기에 $x = b$를 대입한 값이 $8$이 되어야 하므로, 방정식은 다음과 같습니다.
$$3e^{3b} - 6e^{2b} + 4e^b = 8$$
이 방정식을 풀기 위해 $e^b = t$ ($t > 0$)로 치환해 보겠습니다.
$$3t^3 - 6t^2 + 4t - 8 = 0$$
이 삼차방정식을 인수분해 해봅시다. 처음 두 항과 뒤의 두 항을 묶어볼까요?
$$3t^2(t - 2) + 4(t - 2) = 0$$
$$(3t^2 + 4)(t - 2) = 0$$
실수 범위에서 $3t^2 + 4$는 항상 양수이므로 $0$이 될 수 없습니다. 따라서 반드시 다음을 만족해야 합니다.
$$t - 2 = 0 \implies t = 2$$
즉, $e^b = 2$ (또는 $b = \ln 2$)라는 아주 중요한 단서를 얻었습니다!
3단계: $a$의 값 구하기
우리는 $f(b) = a$라는 것을 알고 있습니다. $e^b = 2$임을 이용해서 $a$의 값을 계산해 봅시다.
$$a = f(b) = e^{3b} - 3e^{2b} + 4e^b$$
지수법칙을 이용해 $e^b$ 형태로 묶어 표현하면 다음과 같습니다.
$$a = (e^b)^3 - 3(e^b)^2 + 4(e^b)$$
여기에 $e^b = 2$를 대입합니다.
$$a = 2^3 - 3(2^2) + 4(2)$$
$$a = 8 - 12 + 8 = 4$$
따라서 $a = 4$입니다.
4단계: 최종 답 계산하기
우리가 구하고자 했던 값은 $a + f'(g(a))$였습니다.
1단계에서 이 식은 $a + 8$과 같음을 확인했으므로, 구한 $a = 4$를 대입합니다.
$$a + f'(g(a)) = 4 + 8 = 12$$
답
② 12
확인해보기
공식을 제대로 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 함수 $h(x) = x^3 + x$의 역함수를 $h^{-1}(x)$라 할 때, 미분계수 $(h^{-1})'(2)$의 값을 구하려고 합니다. 역함수의 미분 공식을 사용하기 위해 가장 먼저 구해야 하는 값은 무엇이며, 그 값은 얼마일까요? (직접 계산해 보세요!)