어떤 문제인가
이 문제는 반원 위에 있는 점들을 연결하여 만든 사다리꼴의 넓이를 삼각함수로 나타내고, 이를 미분하여 특정 순간의 변화율을 구하는 삼각함수의 극한과 미분 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 원주각과 중심각의 성질: 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 크기의 반입니다.
- 삼각함수를 이용한 좌표와 길이 표현: 원 위의 점의 좌표를 삼각함수로 나타내고, 이를 통해 사다리꼴의 변의 길이를 구합니다.
- 삼각함수의 이배각 공식: $\sin 2\theta$, $\cos 2\theta$ 등을 다루기 위해 배각 공식을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 원의 성질을 이용해 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 좌표 구하기
먼저 도형을 좌표평면 위에 올려놓으면 문제를 훨씬 직관적으로 풀 수 있습니다.
반원의 지름 $\text{AB}$의 중심을 원점 $\text{O}(0,0)$으로 잡읍시다. 지름의 길이가 $2$이므로 반지름의 길이는 $1$입니다.
- 호 $\text{BP}$에 대한 원주각이 $\angle\text{BAP} = \theta$이므로, 이에 대한 중심각은 원주각의 2배인 $\angle\text{BOP} = 2\theta$가 됩니다.
- 반지름의 길이가 $1$이므로, 점 $\text{P}$의 좌표는 다음과 같이 삼각함수로 나타낼 수 있습니다.
$$P = (\cos 2\theta, \sin 2\theta)$$
- 점 $\text{Q}$는 점 $\text{P}$를 지나고 $\text{AB}$(즉, $x$축)에 평행한 직선이 반원과 만나는 점이므로, $y$축에 대해 대칭인 점입니다. 따라서 점 $\text{Q}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$Q = (-\cos 2\theta, \sin 2\theta)$$
*(참고: $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$이므로 $\frac{\pi}{2} < 2\theta < \pi$가 되어 $\cos 2\theta$는 음수입니다. 따라서 점 $\text{P}$는 2사분면에, 점 $\text{Q}$는 1사분면에 위치하게 됩니다.)*
2단계: 사각형 $\text{ABQP}$의 넓이 $f(\theta)$ 구하기
사각형 $\text{ABQP}$는 아랫변이 $\text{AB}$, 윗변이 $\text{PQ}$인 사다리꼴입니다.
- **아랫변의 길이 ($\overline{\text{AB}}$)**: 지름의 길이이므로 $2$입니다.
- **윗변의 길이 ($\overline{\text{PQ}}$)**: 점 $\text{Q}$의 $x$좌표에서 점 $\text{P}$의 $x$좌표를 뺀 값입니다.
$$\overline{\text{PQ}} = -\cos 2\theta - \cos 2\theta = -2\cos 2\theta$$
- **높이 ($h$)**: 점 $\text{P}$의 $y$좌표이므로 $\sin 2\theta$입니다.
이제 사다리꼴의 넓이 공식 $\frac{1}{2} \times (\text{아랫변} + \text{윗변}) \times \text{높이}$를 이용해 $f(\theta)$를 구합니다.
$$f(\theta) = \frac{1}{2} (2 - 2\cos 2\theta) \sin 2\theta = (1 - \cos 2\theta)\sin 2\theta$$
미분을 편하게 하기 위해 식을 전개하고 삼각함수의 배각 공식($\sin 2x = 2\sin x \cos x$)을 사용해 정리해 봅시다.
$$f(\theta) = \sin 2\theta - \sin 2\theta \cos 2\theta = \sin 2\theta - \frac{1}{2}\sin 4\theta$$
3단계: $\theta = \alpha$일 때의 삼각함수 값 구하기
조건에서 $\overline{\text{AP}} : \overline{\text{BP}} = 1 : 3$이 되도록 하는 $\theta$의 값을 $\alpha$라 했습니다.
지름 $\text{AB}$에 대한 원주각 $\angle\text{APB} = \frac{\pi}{2}$이므로, 직각삼각형 $\text{APB}$에서 다음이 성립합니다.
- $\overline{\text{AP}} = 2\cos\theta$
- $\overline{\text{BP}} = 2\sin\theta$
따라서,
$$\overline{\text{AP}} : \overline{\text{BP}} = 2\cos\alpha : 2\sin\alpha = 1 : 3$$
$$\frac{2\sin\alpha}{2\cos\alpha} = \tan\alpha = 3$$
$\tan\alpha = 3$을 만족하는 직각삼각형을 생각하면, 빗변의 길이는 $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$이므로 다음과 같은 값을 얻을 수 있습니다.
$$\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$$
이를 이용해 미분식에 대입할 $\cos 2\alpha$와 $\cos 4\alpha$의 값을 구해둡시다.
- **$\cos 2\alpha$ 구하기**:
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{4}{5}$$
- **$\cos 4\alpha$ 구하기**:
$$\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1 = 2\left(-\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}$$
4단계: $f'(\alpha)$ 계산하기
이제 2단계에서 구한 $f(\theta)$를 미분합니다.
$$f'(\theta) = 2\cos 2\theta - 2\cos 4\theta$$
여기에 $\theta = \alpha$를 대입하고, 3단계에서 구한 값들을 넣어 계산합니다.
$$f'(\alpha) = 2\cos 2\alpha - 2\cos 4\alpha$$
$$f'(\alpha) = 2\left(-\frac{4}{5}\right) - 2\left(\frac{7}{25}\right) = -\frac{8}{5} - \frac{14}{25}$$
$$f'(\alpha) = -\frac{40}{25} - \frac{14}{25} = -\frac{54}{25}$$
답
**③ $-\frac{54}{25}$**
확인해보기
이 문제에서는 원주각 $\angle\text{BAP} = \theta$를 이용하여 중심각 $\angle\text{BOP} = 2\theta$를 찾아내어 좌표를 쉽게 구했습니다.
질문: 만약 원주각과 중심각의 성질을 쓰지 않고, 직각삼각형 $\text{APB}$에서 직접 선분 $\text{AP}$와 $\text{BP}$의 길이를 구한 뒤, 점 $\text{P}$에서 선분 $\text{AB}$에 내린 수선의 발을 이용해 사다리꼴의 높이와 윗변의 길이를 구한다면 어떤 식들이 세워질지 스스로 유도해 보세요. (답은 구하지 않아도 좋습니다.)