어떤 문제인가
이 문제는 주어진 복잡한 방정식과 조건을 분석하여 미정계수 $a, b$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 합성함수의 성질과 부호 관계: 함수 $g(y) = y^5 + y^3$의 그래프 개형을 통해 $f(x)$와 합성함수의 부호가 어떻게 연결되는지 이해합니다.
- 도함수와 이계도함수를 통한 그래프 분석: 새로운 함수를 정의하고, 이 함수의 도함수와 이계도함수를 구해 그래프의 증가·감소 및 오목·볼록(변곡점)을 분석합니다.
- 사잇값 정리와 극대·극소: 조건 (나)의 부호 변화 조건과 미분계수의 조건을 결합하여 그래프가 $x$축을 통과하는 지점의 특징을 잡아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 새로운 함수 $F(x)$ 정의하기와 부호 분석
먼저 조건 (가)의 좌변을 단순하게 만들기 위해 $g(y) = y^5 + y^3$이라는 함수를 생각해 봅시다.
이 함수를 미분하면 $g'(y) = 5y^4 + 3y^2 \ge 0$이므로, $g(y)$는 실수 전체에서 실수 전체로 증가하는 일대일대응 함수입니다. 또한 $g(0) = 0$이므로 다음이 성립합니다.
- $y > 0 \iff g(y) > 0$
- $y < 0 \iff g(y) < 0$
- $y = 0 \iff g(y) = 0$
이제 조건 (가)의 좌변을 $F(x)$라고 정의해 봅시다.
$$F(x) = \left(f(x)\right)^5 + \left(f(x)\right)^3 = g(f(x))$$
위의 성질에 의해, **$f(x)$와 $F(x)$는 항상 부호가 같습니다.**
따라서 조건 (나)의 $f(-3)f(3) < 0$은 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
$$F(-3)F(3) < 0$$
사잇값 정리에 의해, 연속함수 $F(x)$는 열린구간 $(-3, 3)$에서 적어도 하나의 실근을 가집니다. 즉, $F(c) = 0$을 만족하는 $c \in (-3, 3)$가 존재하며, 이 점 좌우에서 $F(x)$의 부호가 바뀝니다.
2단계: $F(x) = 0$인 지점에서의 미분계수 성질 파악하기
$F(x) = g(f(x))$를 $x$에 대해 미분해 봅시다. (합성함수의 미분법)
$$F'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \left( 5(f(x))^4 + 3(f(x))^2 \right) f'(x)$$
만약 어떤 $c$에 대해 $F(c) = 0$이라면, $g(f(c)) = 0$이므로 $f(c) = 0$이어야 합니다.
이를 $F'(x)$ 식에 대입하면 다음과 같은 놀라운 결과를 얻을 수 있습니다.
$$F'(c) = \left( 5(0)^4 + 3(0)^2 \right) f'(c) = 0$$
즉, **$F(x) = 0$이 되는 모든 지점에서는 반드시 $F'(x) = 0$이어야 합니다.**
그런데 $F(x)$는 $x = c$에서 부호가 바뀌어야 합니다(통과하는 근).
보통 $F'(c) = 0$인 지점은 극대나 극소가 되어 부호가 바뀌지 않고 접하고 돌아가는 경우가 많습니다. $F'(c) = 0$이면서도 그 지점을 통과하며 부호가 바뀌려면, $x = c$가 $F(x)$의 변곡점이어야 합니다. 즉, $F''(c) = 0$이어야 합니다.
3단계: $F(x)$의 이계도함수 분석하기
조건 (가)에 의해 $F(x)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$F(x) = \ln\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right) - ax - b$$
이 식을 미분하여 $F'(x)$와 $F''(x)$를 구해봅시다.
$$F'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + \frac{5}{2}} - a$$
$$F''(x) = \frac{2\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right) - (2x + 1)^2}{\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 4}{\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right)^2} = \frac{-2(x+2)(x-1)}{\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right)^2}$$
$F''(x) = 0$을 만족하는 $x$는 **$x = -2$ 또는 $x = 1$** 뿐입니다.
따라서 $F(x)$가 부호를 바꾸며 $x$축을 통과할 수 있는 후보(즉, $c$의 값)는 $-2$ 또는 $1$뿐입니다.
4단계: 조건 검증을 통해 $a$와 $b$ 구하기
**Case 1) $c = 1$인 경우**
$F(1) = 0$이고 $F'(1) = 0$이어야 합니다.
$F'(1) = 0$을 이용해 $a$를 구하면,
$$F'(1) = \frac{3}{1 + 1 + \frac{5}{2}} - a = \frac{3}{\frac{9}{2}} - a = \frac{2}{3} - a = 0 \implies a = \frac{2}{3}$$
이때 조건 (나)의 $f'(2) > 0$을 만족하는지 확인해 봅시다.
$F'(2) = \left( 5(f(2))^4 + 3(f(2))^2 \right) f'(2)$ 입니다.
만약 $f'(2) > 0$이라면, $F'(2) \ge 0$이어야 합니다. (괄호 안의 식은 항상 $\ge 0$이므로)
실제로 $F'(2)$를 계산해 보면,
$$F'(2) = \frac{5}{4 + 2 + \frac{5}{2}} - \frac{2}{3} = \frac{5}{\frac{17}{2}} - \frac{2}{3} = \frac{10}{17} - \frac{2}{3} = -\frac{4}{51} < 0$$
이것은 $F'(2) \ge 0$이어야 한다는 사실에 모순됩니다. 따라서 $c = 1$은 불가능합니다.
**Case 2) $c = -2$인 경우**
$F(-2) = 0$이고 $F'(-2) = 0$이어야 합니다.
$F'(-2) = 0$을 이용해 $a$를 구하면,
$$F'(-2) = \frac{-3}{4 - 2 + \frac{5}{2}} - a = \frac{-3}{\frac{9}{2}} - a = -\frac{2}{3} - a = 0 \implies a = -\frac{2}{3}$$
이때 $F'(2)$를 계산해 보면,
$$F'(2) = \frac{10}{17} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{17} + \frac{2}{3} > 0$$
이므로 $f'(2) > 0$인 조건과 모순되지 않고 잘 성립합니다.
이제 $F(-2) = 0$을 이용해 $b$를 구합시다.
$$F(-2) = \ln\left(4 - 2 + \frac{5}{2}\right) - \left(-\frac{2}{3}\right)(-2) - b = 0$$
$$\ln\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{4}{3} - b = 0 \implies b = \ln\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{4}{3}$$
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $a \times e^b$입니다.
$$e^b = e^{\ln\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{4}{3}} = \frac{9}{2} \times e^{-\frac{4}{3}}$$
따라서,
$$a \times e^b = -\frac{2}{3} \times \left(\frac{9}{2} e^{-\frac{4}{3}}\right) = -3e^{-\frac{4}{3}}$$
답
**① $-3e^{-\frac{4}{3}}$**
확인해보기
함수 $g(y) = y^5 + y^3$이 실수 전체에서 증가하는 함수(일대일대응)라는 성질이 이 문제를 푸는 출발점이 되었습니다. 만약 이 함수가 $g(y) = y^2$처럼 증가와 감소를 모두 가지는 함수였다면, $f(x)$와 $F(x)$의 부호 관계는 어떻게 달라졌을지 스스로 생각해보세요.