반갑습니다! 수학과 물리를 가르치는 교사입니다. 오늘 준비한 문제는 삼각함수의 성질, 수열의 규칙성, 그리고 무한등비급수의 수렴 조건까지 여러 개념이 아름답게 융합된 좋은 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 실타래를 풀듯 한 단계씩 차근차근 접근하면 충분히 스스로 해결할 수 있습니다. 자, 시작해 볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$의 정보를 찾아내어 최종 값을 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수의 주기성: $\sin \frac{n}{2}\pi$와 $\cos \frac{n}{2}\pi$는 $n$의 값에 따라 일정한 값이 반복해서 나타납니다. 이를 통해 수열 $\{a_n\}$의 규칙성을 찾습니다.
- 부등식과 정수 조건: $\alpha, \beta$가 정수라는 조건과 크기 관계($\alpha > \beta$)를 이용해 가능한 후보를 좁힙니다.
- 무한등비급수의 수렴 조건과 합: 등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}$이 수렴하기 위한 공비의 조건($|r| < 1$)과 그 합의 공식($\frac{a}{1-r}$)을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 수열 $\{a_n\}$의 규칙성 파악하기
먼저 수열 $\{a_n\}$이 어떤 값을 가지며 반복되는지 알아봅시다. $n = 1, 2, 3, 4$를 차례대로 대입해 봅니다.
- $n=1$ 일 때:
$$a_1 = \alpha \sin \frac{\pi}{2} + \beta \cos \frac{\pi}{2} = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 = \alpha$$
- $n=2$ 일 때:
$$a_2 = \alpha \sin \pi + \beta \cos \pi = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot (-1) = -\beta$$
- $n=3$ 일 때:
$$a_3 = \alpha \sin \frac{3\pi}{2} + \beta \cos \frac{3\pi}{2} = \alpha \cdot (-1) + \beta \cdot 0 = -\alpha$$
- $n=4$ 일 때:
$$a_4 = \alpha \sin 2\pi + \beta \cos 2\pi = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 1 = \beta$$
삼각함수의 주기가 $4$이므로, 수열 $\{a_n\}$은 $\alpha, -\beta, -\alpha, \beta$가 계속해서 반복되는 주기수열입니다.
2단계: 정수 $\alpha, \beta$의 후보 구하기
문제에서 $a_1 \times a_2 \times a_3 \times a_4 = 4$라고 했습니다. 위에서 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$(\alpha) \times (-\beta) \times (-\alpha) \times (\beta) = \alpha^2 \beta^2 = 4$$
즉, $(\alpha\beta)^2 = 4$이므로 $\alpha\beta = 2$ 또는 $\alpha\beta = -2$입니다.
이때 $\alpha, \beta$는 정수이고 $\alpha > \beta$라는 조건이 있으므로, 가능한 쌍을 나누어 볼 수 있습니다.
- **Case 1) $\alpha\beta = 2$ 인 경우 ($\alpha > \beta$)**
* $(\alpha, \beta) = (2, 1)$ 또는 $(-1, -2)$
- **Case 2) $\alpha\beta = -2$ 인 경우 ($\alpha > \beta$)**
* $(\alpha, \beta) = (2, -1)$ 또는 $(1, -2)$
이 후보들 중 진짜 답이 무엇인지는 다음 단계의 등비급수 조건을 통해 가려내야 합니다.
3단계: 무한등비급수 식 정리하기
등비수열 $\{b_n\}$의 첫째항을 $b_1 \; (b_1 > 0)$, 공비를 $r$이라고 합시다. ($b_n = b_1 r^{n-1}$)
급수가 수렴해야 하므로 공비는 $|r| < 1$을 만족해야 합니다.
이제 문제에 주어진 두 급수 식을 분석해 봅시다.
첫 번째 급수: $\sum_{n=1}^{\infty} (a_{4n-2} b_n) = 6$
$a_{4n-2}$는 $n=1, 2, 3, \dots$일 때 각각 $a_2, a_6, a_{10}, \dots$을 의미하며, 이 값은 모두 $-\beta$로 일정합니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} (-\beta \cdot b_n) = -\beta \sum_{n=1}^{\infty} b_1 r^{n-1} = -\beta \frac{b_1}{1-r} = 6 \quad \cdots \text{(ㄱ)}$$
두 번째 급수: $\sum_{n=1}^{\infty} (a_{4n-3} b_{2n}) = 6$
$a_{4n-3}$은 $n=1, 2, 3, \dots$일 때 각각 $a_1, a_5, a_9, \dots$를 의미하며, 이 값은 모두 $\alpha$로 일정합니다. 또한 $b_{2n} = b_1 r^{2n-1}$입니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} (\alpha \cdot b_1 r^{2n-1}) = \alpha (b_1 r + b_1 r^3 + b_1 r^5 + \dots) = \alpha \frac{b_1 r}{1-r^2} = 6 \quad \cdots \text{(ㄴ)}$$
4단계: $\alpha, \beta$ 결정 및 공비 $r$, 첫째항 $b_1$ 구하기
식 (ㄱ)에서 $b_1 > 0$이고 수렴 조건에 의해 $1-r > 0$이므로, $\frac{b_1}{1-r} > 0$입니다.
따라서 식 (ㄱ)의 우변이 $6(>0)$이 되려면 **$-\beta > 0$, 즉 $\beta < 0$**이어야만 합니다!
2단계에서 구한 후보 중 $\beta < 0$을 만족하는 쌍은 다음 세 가지입니다.
- $(\alpha, \beta) = (-1, -2)$
- $(\alpha, \beta) = (2, -1)$
- $(\alpha, \beta) = (1, -2)$
이제 식 (ㄱ)과 (ㄴ)을 연립하여 공비 $r$을 구해봅시다.
식 (ㄱ)에서 $b_1 = -\frac{6(1-r)}{\beta}$입니다. 이를 식 (ㄴ)에 대입합니다.
$$\alpha \frac{\left(-\frac{6(1-r)}{\beta}\right) r}{1-r^2} = 6$$
$$\alpha \frac{-6(1-r)r}{\beta(1-r)(1+r)} = 6$$
$r \neq 1$이므로 약분하면 다음과 같습니다.
$$\frac{-\alpha r}{\beta(1+r)} = 1 \implies -\alpha r = \beta + \beta r \implies -(\alpha + \beta)r = \beta$$
$$r = -\frac{\beta}{\alpha + \beta}$$
이제 세 가지 후보 대입을 통해 수렴 조건 $|r| < 1$을 만족하는 진짜 쌍을 찾습니다.
- **후보 1) $\alpha = -1, \beta = -2$ 일 때**
$$r = -\frac{-2}{-1 - 2} = -\frac{2}{3}$$
$|r| = \frac{2}{3} < 1$ 이므로 수렴 조건을 만족합니다!
이때 $b_1 = -\frac{6(1 - (-2/3))}{-2} = 3 \times \frac{5}{3} = 5 > 0$ 이므로 조건에 부합합니다.
- **후보 2) $\alpha = 2, \beta = -1$ 일 때**
$$r = -\frac{-1}{2 - 1} = 1$$
$|r| < 1$ 조건을 만족하지 못하므로 탈락입니다.
- **후보 3) $\alpha = 1, \beta = -2$ 일 때**
$$r = -\frac{-2}{1 - 2} = -2$$
$|r| < 1$ 조건을 만족하지 못하므로 탈락입니다.
따라서 구하고자 하는 값은 **$\alpha = -1, \beta = -2$, $b_1 = 5$, $r = -\frac{2}{3}$** 입니다.
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $b_1 \times b_3$입니다.
$$b_3 = b_1 r^2 = 5 \times \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 5 \times \frac{4}{9} = \frac{20}{9}$$
따라서,
$$b_1 \times b_3 = 5 \times \frac{20}{9} = \frac{100}{9}$$
이 값은 $\frac{q}{p}$이므로, $p = 9$, $q = 100$입니다. ($9$와 $100$은 서로소인 자연수이므로 조건을 만족합니다.)
최종적으로 구하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = 9 + 100 = 109$$
답
$$109$$
확인해보기
풀이 과정의 4단계에서 **"무한등비급수가 수렴하기 위해서는 공비 $r$의 절댓값이 1보다 작아야 한다($|r| < 1$)"**는 성질을 아주 중요하게 사용했습니다.
그렇다면, **만약 공비 $r$이 $1$이거나 $-1$일 때, 등비급수의 합은 왜 하나의 값으로 수렴하지 않고 발산하게 되는지** 그 이유를 수열의 합의 극한(부분합의 극한) 관점에서 스스로 설명해 보세요.