반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 미적분 과목에서 자주 다루는 합성함수의 미분가능성과 삼차함수의 그래프 개형을 융합한 아주 훌륭한 고난도 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 함수를 안쪽부터 차근차근 분석해 나가면 실타래가 풀리듯 해결할 수 있습니다. 선생님과 함께 한 단계씩 나아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$와 지수함수로 이루어진 분수함수의 합성함수 $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능할 조건을 찾는 문제입니다. 우리가 주목해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 합성함수의 성질: 안쪽 함수 $h(x) = \frac{2}{1+e^{-x}}$의 치역과 도함수의 성질을 파악합니다.
- 절댓값 함수의 미분가능성: $y = |f(t)|$가 미분가능하려면, $f(t) = 0$이 되는 지점에서 어떤 일이 일어나야 하는지 이해해야 합니다.
- 삼차함수의 비율 관계와 극대·극소: 조건들을 만족하는 삼차함수의 그래프 개형을 추론합니다.
단계별 풀이
1단계: 안쪽 함수 $h(x)$ 분석하기
먼저 복잡한 합성함수를 단순하게 만들기 위해 안쪽 함수를 $h(x)$로 치환합시다.
$$h(x) = \frac{2}{1+e^{-x}}$$
이 함수는 우리가 잘 아는 '시그모이드(Sigmoid) 함수'의 변형입니다. $h(x)$의 성질을 알아봅시다.
- 증가성: 분모의 $e^{-x}$는 감소함수이므로, 분모 전체는 감소하고, 역수를 취한 $h(x)$는 실수 전체에서 증가하는 함수입니다. ($h'(x) > 0$)
- 치역: $x \to -\infty$일 때 $h(x) \to 0$이고, $x \to \infty$일 때 $h(x) \to 2$이므로, $h(x)$의 치역은 $(0, 2)$입니다.
- 특정 값 계산: 조건에 등장하는 값들을 미리 구해둡니다.
* $h(0) = \frac{2}{1+1} = 1$
* $h(\ln 3) = \frac{2}{1+e^{-\ln 3}} = \frac{2}{1+1/3} = \frac{3}{2}$
* $h(-\ln 3) = \frac{2}{1+e^{\ln 3}} = \frac{2}{1+3} = \frac{1}{2}$
* $h'(x) = \frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$ 이므로, $h'(-\ln 3) = \frac{2 \cdot 3}{(1+3)^2} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
이제 우리가 다룰 함수는 $g(x) = |f(h(x))|$ 이며, $h(x)$가 $(0, 2)$ 범위에서 움직일 때 $f(t)$의 성질을 관찰하는 문제로 단순화되었습니다. (단, $t = h(x)$)
2단계: 조건 (가)를 통해 $f(t)$의 극점 찾기
조건 (가)에서 $g(x)$는 $x=0$에서 극소이고 $g(0) > 0$이라고 했습니다.
- $g(0) = |f(h(0))| = |f(1)| > 0$ 이므로, $f(1) \neq 0$ 입니다.
- $x=0$ 근처에서 $g(x) > 0$이므로 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있습니다. 즉, $x=0$ 근처에서 $g(x) = \pm f(h(x))$ 입니다.
- $g(x)$가 $x=0$에서 극값을 가지므로 미분계수는 $0$이어야 합니다.
$$g'(0) = \pm f'(h(0)) \cdot h'(0) = \pm f'(1) \cdot h'(0) = 0$$
- $h'(0) = \frac{1}{2} \neq 0$ 이므로, 반드시 **$f'(1) = 0$** 이어야 합니다. 즉, 삼차함수 $f(t)$는 $t=1$에서 극값을 가집니다.
3단계: $g(x)$의 미분가능성과 $f(t)$의 그래프 개형 추론하기
$g(x) = |f(h(x))|$가 실수 전체에서 미분가능하려면, $h(x)$의 범위인 $t \in (0, 2)$에서 $|f(t)|$가 미분가능해야 합니다.
일반적으로 절댓값 함수 $|f(t)|$가 미분가능하려면, $f(t) = 0$이 되는 실근이 존재할 경우 그 근은 반드시 중근(또는 삼중근)이어야 합니다. 통과하는 단일 실근이 존재하면 그 지점에서 꺾여서 미분불가능해지기 때문입니다.
삼차함수 $f(t)$의 최고차항 계수가 $1$이므로, $f'(t) = 3(t-1)(t-\alpha)$로 둘 수 있습니다. (여기서 $\alpha$는 또 다른 극점의 $t$좌표)
이제 $f(1)$의 부호에 따라 케이스를 나누어 봅시다.
**케이스 1: $f(1) > 0$ 인 경우**
- $t=1$이 극소점이라면, $f(t)$는 $t \ge 1$에서 항상 양수입니다. $t \to -\infty$일 때 $f(t) \to -\infty$이므로, $f(t)=0$인 실근 $\beta$는 $1$보다 작습니다 ($\beta < 1$).
- 이 실근 $\beta$는 단일근이므로, 미분가능하려면 이 근이 $h(x)$의 범위인 $(0, 2)$ 밖에 있어야 합니다. 즉, $\beta \le 0$ 이어야 합니다.
- 이 경우, $t \in (0, 2)$에서 $f(t) > 0$이므로 $g(x) = f(h(x))$가 됩니다.
- 조건 (나)에서 $g'(\ln 3) < 0$이라고 했습니다.
$$g'(\ln 3) = f'(h(\ln 3)) \cdot h'(\ln 3) = f'\left(\frac{3}{2}\right) \cdot h'(\ln 3) < 0$$
$h'(x) > 0$이므로 $f'\left(\frac{3}{2}\right) < 0$이어야 합니다.
- 하지만 $t=1$이 극소점이고 $\alpha < 1$이므로, $t > 1$인 범위에서 $f'(t) > 0$입니다. 따라서 $f'\left(\frac{3}{2}\right) > 0$이 되어 모순이 발생합니다. (만약 $t=1$이 극대점이라면 $f(1)>0$이므로 $t \in (0, 2)$에서 $f(t)=0$인 단일근이 무조건 존재하여 미분불가능해집니다.)
- 따라서 케이스 1은 불가능합니다.
**케이스 2: $f(1) < 0$ 인 경우**
- $t=1$이 극대점이어야 합니다. (그래야 $t \in (0, 2)$에서 $f(t) < 0$을 유지하여 단일 실근이 생기지 않을 가능성이 있습니다.)
- 즉, 극대점은 $t=1$, 극소점은 $t=\alpha$ ($\alpha > 1$)가 됩니다.
- $f(t)=0$인 유일한 실근을 $\beta$라 하면, $\beta > \alpha > 1$ 입니다. 이 실근이 $(0, 2)$에 존재하지 않으려면 **$\beta \ge 2$** 이어야 합니다.
- 이 범위에서 $f(t) < 0$이므로, $t \in (0, 2)$에서 $g(x) = -f(h(x))$가 됩니다.
- 조건 (나)의 $g'(\ln 3) < 0$을 확인해 봅시다.
$$g'(\ln 3) = -f'\left(\frac{3}{2}\right) \cdot h'(\ln 3) < 0 \implies f'\left(\frac{3}{2}\right) > 0$$
$f'(t) = 3(t-1)(t-\alpha)$ 이므로, $f'\left(\frac{3}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{2}-\alpha\right) > 0 \implies \alpha < \frac{3}{2}$ 입니다.
- 따라서 $\alpha$의 범위는 **$1 < \alpha < \frac{3}{2}$** 입니다.
4단계: 식 세우기와 조건 (나) 적용하기
$f'(t) = 3(t-1)(t-\alpha) = 3t^2 - 3(1+\alpha)t + 3\alpha$ 이므로, 적분하여 $f(t)$를 구합니다.
$$f(t) = t^3 - \frac{3}{2}(1+\alpha)t^2 + 3\alpha t + C \quad (C\text{는 적분상수})$$
이제 조건 (나)의 두 번째 식 $|g'(-\ln 3)| = \frac{3}{8} g(-\ln 3)$을 적용해 봅시다.
- $h(-\ln 3) = \frac{1}{2}$ 이고, 이 지점에서 $f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ 이므로 $g(-\ln 3) = -f\left(\frac{1}{2}\right)$ 입니다.
- $g'(-\ln 3) = -f'\left(\frac{1}{2}\right) \cdot h'(-\ln 3) = -\frac{3}{8} f'\left(\frac{1}{2}\right)$ 입니다.
- $1 < \alpha < \frac{3}{2}$ 이므로 $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) > 0$ 입니다. 따라서 $g'(-\ln 3) < 0$ 이므로, 절댓값을 씌우면:
$$|g'(-\ln 3)| = -g'(-\ln 3) = \frac{3}{8} f'\left(\frac{1}{2}\right)$$
- 식에 대입하면:
$$\frac{3}{8} f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8} \left( -f\left(\frac{1}{2}\right) \right) \implies f'\left(\frac{1}{2}\right) = -f\left(\frac{1}{2}\right)$$
이제 $f'\left(\frac{1}{2}\right)$과 $f\left(\frac{1}{2}\right)$을 계산해 봅시다.
$$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) = \frac{3}{2}\alpha - \frac{3}{4}$$
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8}(1+\alpha) + \frac{3}{2}\alpha + C = \frac{9}{8}\alpha - \frac{1}{4} + C$$
두 식이 $f'\left(\frac{1}{2}\right) = -f\left(\frac{1}{2}\right)$을 만족하므로:
$$\frac{3}{2}\alpha - \frac{3}{4} = -\left(\frac{9}{8}\alpha - \frac{1}{4} + C\right)$$
이를 $C$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$C = -\frac{21}{8}\alpha + 1$$
5단계: $g(0)$의 최솟값 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $g(0) = -f(1)$의 최솟값입니다.
$$f(1) = 1 - \frac{3}{2}(1+\alpha) + 3\alpha + C = \frac{3}{2}\alpha - \frac{1}{2} + C$$
여기에 위에서 구한 $C$를 대입합니다.
$$f(1) = \frac{3}{2}\alpha - \frac{1}{2} - \frac{21}{8}\alpha + 1 = -\frac{9}{8}\alpha + \frac{1}{2}$$
따라서,
$$g(0) = -f(1) = \frac{9}{8}\alpha - \frac{1}{2}$$
$g(0)$이 최소가 되려면 $\alpha$가 최소여야 합니다. $\alpha$의 범위를 결정하는 마지막 열쇠는 **$\beta \ge 2$** (즉, $f(2) \le 0$) 입니다.
$$f(2) = 8 - 6(1+\alpha) + 6\alpha + C = 2 + C \le 0$$
$C = -\frac{21}{8}\alpha + 1$ 이므로,
$$2 - \frac{21}{8}\alpha + 1 \le 0 \implies \frac{21}{8}\alpha \ge 3 \implies \alpha \ge \frac{8}{7}$$
$\alpha$의 최솟값은 $\frac{8}{7}$이며, 이는 앞서 구한 범위 $1 < \alpha < \frac{3}{2}$를 만족합니다.
따라서 $g(0)$의 최솟값은 $\alpha = \frac{8}{7}$일 때 가집니다.
$$\text{최솟값} = \frac{9}{8}\left(\frac{8}{7}\right) - \frac{1}{2} = \frac{9}{7} - \frac{1}{2} = \frac{11}{14}$$
이 값이 $\frac{q}{p}$이므로, $p=14$, $q=11$입니다. (두 수는 서로소인 자연수입니다.)
답
$$p+q = 14 + 11 = 25$$
확인해보기
질문: 풀이 과정 중 3단계에서, 만약 $f(t) = 0$의 실근 $\beta$가 구간 $(0, 2)$ 안에 존재한다면, 왜 함수 $g(x)$는 실수 전체에서 미분가능할 수 없을까요? 그래프의 기하학적 성질(꺾임)과 연관 지어 스스로 설명해 보세요.