어떤 문제인가
이 문제는 지수에 분수가 있는 두 수의 곱을 계산하는 문제입니다. 복잡해 보이지만, 다음 두 가지 핵심 개념만 알면 아주 쉽게 풀 수 있어요!
- 밑 통일하기: 지수 계산을 쉽게 하려면 곱하려는 두 수의 '밑(아래에 있는 큰 수)'을 같게 만들어 주어야 합니다. 이 문제에서는 $4$를 $2$의 거듭제곱으로 바꿀 수 있습니다.
- 지수법칙:
- 거듭제곱의 거듭제곱: $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- 밑이 같은 두 수의 곱: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
단계별 풀이
1단계: 밑을 $2$로 통일하기
식에 있는 $4^{\frac{1}{4}}$에서 밑인 $4$는 $2^2$으로 바꿀 수 있습니다.
이를 식에 대입해 볼까요?
$$4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}}$$
여기서 지수법칙 $(a^m)^n = a^{m \times n}$을 적용하면, 지수끼리 곱할 수 있습니다.
$$(2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \times \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}$$
따라서 $4^{\frac{1}{4}}$은 $2^{\frac{1}{2}}$과 같습니다.
2단계: 원래 식 계산하기
이제 원래 문제의 식에 우리가 구한 값을 대입해 봅시다.
$$4^{\frac{1}{4}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}}$$
밑이 $2$로 같아졌으므로, 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$을 사용하여 지수끼리 더해줍니다.
$$2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$$
지수를 더하면 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$이 되므로,
$$2^1 = 2$$
가 됩니다.
답
② $2$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
다음 식의 값은 무엇일지 직접 계산해 보세요! (힌트: 밑을 $3$으로 통일해 보세요.)
$$9^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}$$