어떤 문제인가
이 문제는 로그함수의 그래프와 기하학적 도형(정삼각형)의 성질을 결합한 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **로그함수의 그래프와 $x$절편**: 함수가 $x$축과 만나는 점은 $y=0$일 때의 $x$값입니다.
- 그래프의 대칭성: 두 곡선 $y = \log_a(x+3)$과 $y = \log_a(-x+3)$은 $y$축($x=0$)에 대해 서로 대칭입니다.
- 정삼각형의 성질: 한 변의 길이가 $d$인 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}d$입니다.
이 개념들을 하나씩 적용해 가며 문제를 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: $x$축과 만나는 점 $\text{B}$와 $\text{C}$의 좌표 구하기
먼저 두 곡선이 $x$축과 만나는 점의 좌표를 구해봅시다. $x$축과 만난다는 것은 $y$좌표가 $0$이라는 뜻입니다.
- **점 $\text{B}$ 구하기**: 곡선 $y = \log_a(x+3)$에서 $y=0$ 대입
$$\log_a(x+3) = 0$$
로그의 정의에 의해 진수가 $1$이 되어야 하므로,
$$x+3 = 1 \implies x = -2$$
따라서 점 $\text{B}$의 좌표는 $\text{B}(-2, 0)$입니다.
- **점 $\text{C}$ 구하기**: 곡선 $y = \log_a(-x+3)$에서 $y=0$ 대입
$$\log_a(-x+3) = 0$$
마찬가지로 진수가 $1$이 되어야 하므로,
$$-x+3 = 1 \implies x = 2$$
따라서 점 $\text{C}$의 좌표는 $\text{C}(2, 0)$입니다.
2단계: 정삼각형의 한 변의 길이 구하기
두 점 $\text{B}(-2, 0)$와 $\text{C}(2, 0)$는 모두 $x$축 위에 있습니다.
따라서 선분 $\text{BC}$의 길이는 두 점 사이의 거리와 같습니다.
$$\text{BC} = 2 - (-2) = 4$$
삼각형 $\text{ABC}$가 정삼각형이라고 했으므로, 이 정삼각형의 **한 변의 길이는 $4$**입니다.
3단계: 교점 $\text{A}$의 좌표 구하기
점 $\text{A}$는 두 곡선의 교점입니다. 두 식을 연립해 봅시다.
$$\log_a(x+3) = \log_a(-x+3)$$
밑이 $a$로 같으므로 진수끼리 같아야 합니다.
$$x+3 = -x+3$$
$$2x = 0 \implies x = 0$$
$x=0$을 첫 번째 식에 대입하여 $y$좌표를 구하면,
$$y = \log_a(0+3) = \log_a 3$$
따라서 교점 $\text{A}$의 좌표는 $\text{A}(0, \log_a 3)$입니다.
*(참고: 두 함수는 $x$ 대신 $-x$가 들어간 형태이므로 $y$축 대칭입니다. 따라서 교점의 $x$좌표가 $0$이 되는 것은 당연한 결과입니다!)*
4단계: 정삼각형의 높이를 이용하여 $a$의 값 구하기
정삼각형 $\text{ABC}$에서 변 $\text{BC}$는 $x$축 위에 있고, 선분 $\text{BC}$의 중점은 원점 $\text{O}(0,0)$입니다.
점 $\text{A}$는 $y$축 위에 있으므로, 선분 $\text{OA}$의 길이는 바로 이 정삼각형의 높이가 됩니다.
한 변의 길이가 $4$인 정삼각형의 높이 $h$는 다음과 같습니다.
$$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$$
점 $\text{A}(0, \log_a 3)$에서 $a > 1$이므로 $\log_a 3 > 0$입니다. 즉, 점 $\text{A}$의 $y$좌표 자체가 높이가 됩니다.
$$\log_a 3 = 2\sqrt{3}$$
이제 로그의 정의를 이용하여 지수 형태로 바꾸어 줍니다.
$$a^{2\sqrt{3}} = 3$$
양변을 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$제곱 해줍니다.
$$a = 3^{\frac{1}{2\sqrt{3}}}$$
분모를 유리화하기 위해 분모와 분자에 $\sqrt{3}$을 곱해줍니다.
$$a = 3^{\frac{\sqrt{3}}{2 \times 3}} = 3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$$
답
정답은 ① $3^{\frac{\sqrt{3}}{6}}$ 입니다.
확인해보기
두 곡선 $y = \log_a(x+3)$과 $y = \log_a(-x+3)$의 식을 보고, 두 그래프가 왜 $y$축($x=0$)에 대해 서로 대칭인지 도형의 이동(대칭이동) 개념을 사용해서 설명해 볼 수 있을까요?