어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 위치, 속도, 가속도 사이의 관계를 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 미분을 활용하여 물리적 상황을 수학적으로 해석하는 것이 핵심입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 위치와 속도의 관계: 위치 $x(t)$를 시각 $t$에 대해 미분하면 속도 $v(t)$가 됩니다. ($v(t) = x'(t)$)
- 속도와 가속도의 관계: 속도 $v(t)$를 시각 $t$에 대해 미분하면 가속도 $a(t)$가 됩니다. ($a(t) = v'(t)$)
- 운동 방향이 바뀌는 조건: 점의 운동 방향이 바뀐다는 것은 **속도 $v(t)$의 부호(양수/음수)가 바뀌는 순간**을 의미합니다. 보통 $v(t) = 0$인 순간을 찾아서 앞뒤로 부호가 바뀌는지 확인합니다.
단계별 풀이
1단계: <보기> ㄱ 확인하기 (시각 $t=1$일 때 점 $\text{P}$의 위치 구하기)
위치 식 $x = t^3 - t^2 - t + 1$에 $t=1$을 직접 대입하여 이때의 위치를 구해봅시다.
$$x(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 1$$
$$x(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$$
따라서 시각 $t=1$일 때 점 $\text{P}$의 위치는 $0$입니다. 보기의 설명(위치가 $1$이다)은 틀렸습니다. (ㄱ은 거짓)
2단계: <보기> ㄴ 확인하기 (시각 $t=1$일 때 점 $\text{P}$의 속도 구하기)
속도 $v(t)$를 구하기 위해 위치 식 $x(t)$를 시각 $t$에 대해 미분해 봅시다.
$$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - t + 1)$$
$$v(t) = 3t^2 - 2t - 1$$
이제 시각 $t=1$일 때의 속도를 구하기 위해 $t=1$을 대입합니다.
$$v(1) = 3(1)^2 - 2(1) - 1$$
$$v(1) = 3 - 2 - 1 = 0$$
따라서 시각 $t=1$일 때 점 $\text{P}$의 속도는 $0$이 맞습니다. (ㄴ은 참)
3단계: <보기> ㄷ 확인하기 (운동 방향이 바뀌는 시각의 가속도 구하기)
먼저 **점 $\text{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각**을 찾아야 합니다. 운동 방향이 바뀌려면 속도 $v(t) = 0$이어야 하므로, 2단계에서 구한 속도 식을 인수분해 해봅시다.
$$v(t) = 3t^2 - 2t - 1 = 0$$
$$(3t + 1)(t - 1) = 0$$
이 방정식을 만족하는 $t$는 $t = -\frac{1}{3}$ 또는 $t = 1$입니다.
하지만 시간은 $t \ge 0$이므로 우리가 찾는 시각은 **$t = 1$**뿐입니다.
($t=1$을 기준으로 $t < 1$일 때는 $v(t) < 0$, $t > 1$일 때는 $v(t) > 0$이므로 실제로 운동 방향이 바뀝니다.)
이제 이 시각($t=1$)에서의 가속도를 구하기 위해, 속도 식 $v(t)$를 한 번 더 미분하여 가속도 식 $a(t)$를 구합니다.
$$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t - 1)$$
$$a(t) = 6t - 2$$
운동 방향이 바뀌는 시각인 $t=1$을 가속도 식에 대입합니다.
$$a(1) = 6(1) - 2 = 4$$
따라서 운동 방향이 바뀌는 시각에 점 $\text{P}$의 가속도는 $4$가 맞습니다. (ㄷ은 참)
답
옳은 것은 ㄴ, ㄷ이므로 답은 ⑤번입니다.
확인해보기
어떤 물체의 속도 $v(t)$가 순간적으로 $0$이 되었다고 해서 항상 그 순간에 운동 방향이 바뀐다고 말할 수 있을까요? 만약 아니라면 어떤 반례가 있을지 생각해보세요.