어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 따라 수열의 항들이 어떻게 변화하는지 규칙을 찾고, 가능한 여러 경우를 나누어 해결하는 귀납적으로 정의된 수열 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이차방정식의 성질을 이용한 관계식 해석: 곱해서 $0$이 된다는 성질을 이용해 수열의 인접한 두 항 사이의 관계식을 두 가지 규칙으로 분리합니다.
- 경우 분류 (수형도 그리기): 첫째 항 $a_1$에서 셋째 항 $a_3$까지 변하는 모든 가능한 경로를 나누어 생각합니다.
- 조건에 맞는 미지수 구하기: $a_1 = a_3$라는 조건을 만족하는 실제 수열의 값들을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (나)를 해석하여 수열의 규칙 찾아내기
조건 (나)를 보면 두 식의 곱이 $0$이라고 되어 있습니다.
$$(a_{n+1} - a_n + 3)(a_{n+1} - 2a_n) = 0$$
이 식이 모든 자연수 $n$에 대해 성립하려면, 각 단계마다 다음 두 가지 규칙 중 하나를 만족해야 합니다.
- [규칙 A] $a_{n+1} - a_n + 3 = 0 \implies a_{n+1} = a_n - 3$
- [규칙 B] $a_{n+1} - 2a_n = 0 \implies a_{n+1} = 2a_n$
즉, 이전 항에 $3$을 빼거나, 이전 항에 $2$를 곱해서 다음 항을 만듭니다.
2단계: $a_1$에서 $a_3$까지 가는 모든 경로 구하기
조건 (가)에서 $a_1 = a_3$라고 했습니다. $a_1$에서 출발하여 $a_3$에 도달하는 경로는 규칙 A와 B를 조합하여 총 4가지가 나옵니다. 각 경로별로 $a_3$를 $a_1$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
- **경로 1: [규칙 A] $\to$ [규칙 A]**
$$a_2 = a_1 - 3$$
$$a_3 = a_2 - 3 = (a_1 - 3) - 3 = a_1 - 6$$
조건 $a_1 = a_3$를 대입하면:
$$a_1 = a_1 - 6 \implies 0 = -6 \quad \text{(모순, 불가능)}$$
- **경로 2: [규칙 A] $\to$ [규칙 B]**
$$a_2 = a_1 - 3$$
$$a_3 = 2a_2 = 2(a_1 - 3) = 2a_1 - 6$$
조건 $a_1 = a_3$를 대입하면:
$$a_1 = 2a_1 - 6 \implies a_1 = 6$$
이때 수열은 $a_1 = 6, a_2 = 3, a_3 = 6$이 됩니다.
- **경로 3: [규칙 B] $\to$ [규칙 A]**
$$a_2 = 2a_1$$
$$a_3 = a_2 - 3 = 2a_1 - 3$$
조건 $a_1 = a_3$를 대입하면:
$$a_1 = 2a_1 - 3 \implies a_1 = 3$$
이때 수열은 $a_1 = 3, a_2 = 6, a_3 = 3$이 됩니다.
- **경로 4: [규칙 B] $\to$ [규칙 B]**
$$a_2 = 2a_1$$
$$a_3 = 2a_2 = 4a_1$$
조건 $a_1 = a_3$를 대입하면:
$$a_1 = 4a_1 \implies 3a_1 = 0 \implies a_1 = 0$$
이때 수열은 $a_1 = 0, a_2 = 0, a_3 = 0$이 됩니다.
3단계: 각 경우별로 $a_4$의 최댓값 구하기
이제 가능한 세 가지 수열에 대해 $a_4$의 값을 구해봅시다. $a_4$ 역시 $a_3$로부터 [규칙 A]($a_4 = a_3 - 3$) 또는 [규칙 B]($a_4 = 2a_3$)를 통해 만들어집니다.
- **경로 2의 경우 ($a_3 = 6$)**
* [규칙 A] 적용 시: $a_4 = 6 - 3 = 3$
* [규칙 B] 적용 시: $a_4 = 2 \times 6 = 12$
- **경로 3의 경우 ($a_3 = 3$)**
* [규칙 A] 적용 시: $a_4 = 3 - 3 = 0$
* [규칙 B] 적용 시: $a_4 = 2 \times 3 = 6$
- **경로 4의 경우 ($a_3 = 0$)**
* [규칙 A] 적용 시: $a_4 = 0 - 3 = -3$
* [규칙 B] 적용 시: $a_4 = 2 \times 0 = 0$
따라서 $a_4$가 가질 수 있는 모든 값은 $\{-3, 0, 3, 6, 12\}$입니다. 이 중 최댓값은 $12$입니다.
답
② $12$
확인해보기
만약 조건 (가)가 $a_1 = a_3$ 대신 **$a_1 = a_2$**로 바뀐다면, 이 조건을 만족하는 수열 $\{a_n\}$에서 $a_1$이 가질 수 있는 값은 무엇일까요? 그리고 이때 $a_4$의 최댓값은 얼마가 될지 스스로 계산해 보세요!