어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선(이차함수와 직선)으로 둘러싸인 여러 영역의 넓이 사이의 관계를 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 두 곡선 사이의 넓이와 정적분: 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는 두 함수의 차 $f(x)-g(x)$를 정적분하여 구합니다. 이때, 어떤 그래프가 위에 있는지에 따라 식의 부호가 달라집니다.
- 정적분의 구간 합치기 성질: $\int_{a}^{b} h(x) dx + \int_{b}^{c} h(x) dx = \int_{a}^{c} h(x) dx$ 성질을 이용하면 복잡한 넓이 관계식을 아주 단순한 하나의 정적분 식으로 바꿀 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 두 함수의 차를 하나의 함수로 정의하기
계산을 편리하게 하기 위해, 이차함수 $f(x)$에서 직선의 방정식 $g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$를 뺀 새로운 함수 $h(x)$를 정의해 봅시다.
$$h(x) = f(x) - g(x)$$
식을 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$h(x) = (3x^2 - 7x + 2) - \left(\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}\right)$$
$$h(x) = 3x^2 - \frac{22}{3}x + \frac{8}{3}$$
2단계: 영역 $A, B, C$의 넓이를 정적분으로 표현하기
그래프를 보면 두 함수의 교점이 두 개 존재합니다. 이 교점의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라고 해봅시다 ($0 < \alpha < \beta < k$).
- **영역 $A$** ($0$부터 $\alpha$까지): $f(x)$가 $g(x)$보다 위에 있으므로 $h(x) > 0$입니다.
$$\text{A의 넓이} = \int_{0}^{\alpha} h(x) dx$$
- **영역 $B$** ($\alpha$부터 $\beta$까지): $g(x)$가 $f(x)$보다 위에 있으므로 $h(x) < 0$입니다. 넓이는 항상 양수여야 하므로 마이너스를 붙여줍니다.
$$\text{B의 넓이} = \int_{\alpha}^{\beta} -h(x) dx$$
- **영역 $C$** ($\beta$부터 $k$까지): 다시 $f(x)$가 $g(x)$보다 위에 있으므로 $h(x) > 0$입니다.
$$\text{C의 넓이} = \int_{\beta}^{k} h(x) dx$$
3단계: 주어진 조건식 단순화하기 (가장 중요한 단계!)
문제에서 주어진 조건은 다음과 같습니다.
$$(\text{A의 넓이}) + (\text{C의 넓이}) = (\text{B의 넓이})$$
위에서 구한 정적분 식들을 이 조건에 대입해 볼까요?
$$\int_{0}^{\alpha} h(x) dx + \int_{\beta}^{k} h(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} -h(x) dx$$
우변의 식을 좌변으로 이항해 봅시다. 우변의 마이너스($-$) 부호가 이항되면서 플러스($+$)로 바뀝니다.
$$\int_{0}^{\alpha} h(x) dx + \int_{\alpha}^{\beta} h(x) dx + \int_{\beta}^{k} h(x) dx = 0$$
꼬리에 꼬리를 무는 정적분의 성질이 보이나요? 구간이 $0 \rightarrow \alpha \rightarrow \beta \rightarrow k$로 이어지므로, 이 세 정적분은 하나로 합칠 수 있습니다!
$$\int_{0}^{k} h(x) dx = 0$$
놀랍게도 교점 $\alpha, \beta$를 직접 구하지 않고도, $0$부터 $k$까지 정적분한 값이 $0$이 된다는 아주 단순한 식을 얻었습니다.
4단계: 정적분 계산하여 $k$ 구하기
이제 실제로 정적분을 계산해 봅시다.
$$\int_{0}^{k} \left(3x^2 - \frac{22}{3}x + \frac{8}{3}\right) dx = 0$$
적분을 수행하면:
$$\left[ x^3 - \frac{11}{3}x^2 + \frac{8}{3}x \right]_{0}^{k} = 0$$
$$k^3 - \frac{11}{3}k^2 + \frac{8}{3}k = 0$$
문제에서 $k > 2$라고 했으므로 $k \neq 0$입니다. 양변을 $k$로 나누어 줍니다.
$$k^2 - \frac{11}{3}k + \frac{8}{3} = 0$$
분수를 없애기 위해 양변에 $3$을 곱합니다.
$$3k^2 - 11k + 8 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(3k - 8)(k - 1) = 0$$
따라서 $k = \frac{8}{3}$ 또는 $k = 1$입니다.
문제의 조건에서 $k > 2$라고 하였으므로, 우리가 찾는 값은 $k = \frac{8}{3}$입니다.
답
**④ $\frac{8}{3}$**
확인해보기
어떤 연속함수 $y=F(x)$가 구간 $[a, b]$에서 $x$축 위쪽에 영역 $S_1$을 만들고, 구간 $[b, c]$에서 $x$축 아래쪽에 영역 $S_2$를 만듭니다. 두 영역의 넓이가 서로 같다면, $\int_{a}^{c} F(x) dx$의 값은 얼마가 될까요? 스스로 생각해보세요!