어떤 문제인가
이 문제는 삼각형의 성질과 삼각함수의 법칙들을 복합적으로 활용하여, 최종적으로 삼각형의 외접원의 넓이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 사인법칙 (Law of Sines): 삼각형에서 한 변의 길이와 그 대각의 사인값 사이의 관계를 보여줍니다. 이 법칙을 통해 선분의 비율을 구하고, 마지막에 외접원의 반지름 $R$을 구합니다.
- 중선정리 (파푸스의 정리)와 스튜어트 정리 (Stewart's Theorem): 삼각형 내부의 선분들의 길이를 구하기 위해 변들 사이의 관계식을 세울 때 사용합니다.
- 코사인법칙 (Law of Cosines): 세 변의 길이를 알 때 한 각의 코사인값을 구하기 위해 사용합니다.
단계별 풀이
풀이 1) 중선정리와 스튜어트 정리 이용하기
1단계: 선분 $BC$ 위의 점들의 위치 관계와 길이 구하기
먼저 선분 $BC$의 길이를 미지수로 두고 시작해 봅시다.
선분 $BC$의 길이를 $6k$ ($k > 0$)라고 합시다. (중점과 $5:1$ 내분점을 쉽게 표현하기 위해 $6k$로 잡았습니다.)
- $P$는 $BC$의 중점이므로, $BP = PC = 3k$입니다.
- $Q$는 $BC$를 $5:1$로 내분하는 점이므로, $BQ = 5k$, $QC = k$입니다.
- 따라서 선분 $PQ$의 길이는 $BQ - BP = 5k - 3k = 2k$가 됩니다.
이제 삼각형 $APQ$에서 사인법칙을 적용해 봅시다.
$$\frac{PQ}{\sin(\angle QAP)} = \frac{AQ}{\sin(\angle APQ)}$$
이 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{PQ}{AQ} = \frac{\sin(\angle QAP)}{\sin(\angle APQ)}$$
문제에서 $\sin(\angle QAP) : \sin(\angle APQ) = \sqrt{2} : 3$이라고 주어졌고, $AQ = 3\sqrt{2}$이므로 이 값들을 대입해 봅시다.
$$\frac{PQ}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$
양변에 $3\sqrt{2}$를 곱하면,
$$PQ = \frac{\sqrt{2}}{3} \times 3\sqrt{2} = 2$$
우리가 앞에서 $PQ = 2k$라고 했으므로, $2k = 2$에서 $k = 1$임을 알 수 있습니다!
따라서 실제 길이는 다음과 같습니다.
- $BC = 6$
- $BP = 3$, $PC = 3$
- $PQ = 2$, $QC = 1$
2단계: 중선정리와 스튜어트 정리를 이용해 $AP$와 $AC$의 길이 구하기
이제 삼각형 $ABC$의 남은 변들의 길이를 구해봅시다.
첫째, 삼각형 $ABC$에서 $AP$가 중선이므로 '중선정리'를 적용합니다.
$$AB^2 + AC^2 = 2(AP^2 + BP^2)$$
알고 있는 값들을 대입해 봅시다 ($AB = 2\sqrt{7}$, $BP = 3$).
$$(2\sqrt{7})^2 + AC^2 = 2(AP^2 + 3^2)$$
$$28 + AC^2 = 2(AP^2 + 9)$$
$$AC^2 = 2AP^2 - 10 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
둘째, 삼각형 $APC$에서 선분 $AQ$에 대해 '스튜어트 정리'를 적용합니다.
(스튜어트 정리: 삼각형 $APC$의 변 $PC$ 위의 점 $Q$에 대해, $AQ^2 \cdot PC = AP^2 \cdot QC + AC^2 \cdot PQ - PQ \cdot QC \cdot PC$)
구해둔 길이들을 대입해 봅시다 ($PC = 3$, $QC = 1$, $PQ = 2$, $AQ = 3\sqrt{2}$).
$$(3\sqrt{2})^2 \cdot 3 = AP^2 \cdot 1 + AC^2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 \cdot 3$$
$$18 \cdot 3 = AP^2 + 2AC^2 - 6$$
$$54 = AP^2 + 2AC^2 - 6$$
$$AP^2 + 2AC^2 = 60 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
이제 (식 1)을 (식 2)에 대입하여 연립방정식을 풉니다.
$$AP^2 + 2(2AP^2 - 10) = 60$$
$$AP^2 + 4AP^2 - 20 = 60$$
$$5AP^2 = 80 \implies AP^2 = 16$$
길이는 양수이므로 $AP = 4$입니다.
이를 다시 (식 1)에 대입하면,
$$AC^2 = 2(16) - 10 = 22 \implies AC = \sqrt{22}$$
3단계: 코사인법칙과 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 구하기
이제 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름 $R$을 구할 차례입니다.
삼각형 $ABP$의 세 변의 길이를 모두 알고 있으므로 ($AB = 2\sqrt{7}$, $BP = 3$, $AP = 4$), 코사인법칙을 이용해 $\cos B$를 구합니다.
$$\cos B = \frac{AB^2 + BP^2 - AP^2}{2 \cdot AB \cdot BP}$$
$$\cos B = \frac{28 + 9 - 16}{2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3} = \frac{21}{12\sqrt{7}} = \frac{7}{4\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$
$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ 이므로, $\sin B$를 구합니다. ($\angle B$는 삼각형의 내각이므로 $\sin B > 0$)
$$\sin B = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$$
마지막으로, 삼각형 $ABC$에서 사인법칙을 사용하여 외접원의 반지름 $R$을 구합니다.
$$2R = \frac{AC}{\sin B}$$
$$2R = \frac{\sqrt{22}}{\frac{3}{4}} = \frac{4\sqrt{22}}{3}$$
$$R = \frac{2\sqrt{22}}{3}$$
따라서 외접원의 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{넓이} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{2\sqrt{22}}{3}\right)^2 = \frac{88}{9}\pi$$
풀이 2) 좌표를 이용하여 거리의 차 구하기
사인법칙으로 $PQ=2$, $BC=6$을 얻는 과정은 같습니다. 이제 $B(0,0)$, $C(6,0)$으로 놓으면 $P(3,0)$, $Q(5,0)$입니다. $A(u,v)$라 하고 $v>0$으로 잡읍시다.
$$u^2+v^2=28,\qquad (u-5)^2+v^2=18$$
두 식을 빼면 $-10u+25=-10$이므로 $u=7/2$입니다. 따라서
$$v^2=28-\frac{49}{4}=\frac{63}{4},\qquad AC^2=\left(\frac72-6\right)^2+\frac{63}{4}=22$$
입니다. $\sin B=v/AB$이므로 사인법칙에서
$$R^2=\frac{AC^2}{4\sin^2B}=\frac{AC^2\cdot AB^2}{4v^2}=\frac{22\cdot28}{63}=\frac{88}{9}$$
를 얻습니다. 따라서 외접원의 넓이는 $88\pi/9$입니다.
답
정답은 ② $\frac{88}{9}\pi$ 입니다.
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문: 3단계에서 우리는 $\sin B$와 그 대변인 $AC$의 길이를 이용해 외접원의 반지름 $R$을 구했습니다. 만약 $\sin C$와 그 대변인 $AB$의 길이를 이용해 구하고자 한다면, 어떤 단계들을 거쳐야 할지 머릿속으로 과정을 그려보세요. (직접 계산하지 않아도 좋습니다.)