어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$와 새로운 함수 $g(x)$의 성질을 파악하여 미정계수를 결정하고, 최종적으로 식의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 우미분계수의 정의와 존재 조건: 우측에서 접근할 때의 미분계수가 존재할 조건과 그 기하학적 의미를 이해합니다.
- 도함수의 부호와 함수의 증가·감소: 도함수의 부호가 함수의 그래프 개형(증가/감소)을 어떻게 결정하는지 활용합니다.
- 방정식의 실근의 개수와 그래프의 교점: 방정식 $g(x)=t$의 실근의 개수를 두 그래프 $y=g(x)$와 $y=t$의 교점의 개수로 해석합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 통해 $f'(x)$의 식 구하기
조건 (가)에서 모든 실수 $a$에 대하여 다음 극한값이 존재하고 $0$ 이하라고 했습니다.
$$\lim_{x \to a+} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \le 0$$
이 극한값은 $x=a$에서의 우미분계수($g'_+(a)$)를 뜻합니다. 즉, 모든 실수에서 우미분계수가 존재하고 그 값이 $0$ 이하이어야 합니다.
함수 $g(x)$의 정의를 구간별로 나누어 도함수 $g'(x)$를 구해봅시다. $x \ne \pm 1$인 구간에서는 미분이 가능하므로 다음과 같습니다.
$$g'(x) = \begin{cases} f'(x) & (|x| > 1) \\ -f'(x) & (|x| < 1) \end{cases}$$
모든 곳에서 우미분계수가 $0$ 이하이어야 하므로, 각 구간에서 다음이 성립해야 합니다.
- $|x| > 1$ 일 때: $g'(x) = f'(x) \le 0$
- $|x| < 1$ 일 때: $g'(x) = -f'(x) \le 0 \implies f'(x) \ge 0$
$f(x)$는 삼차함수이므로 그의 도함수 $f'(x)$는 이차함수입니다. 위의 부호 조건에 따르면, $f'(x)$는 $x = -1$과 $x = 1$을 경계로 부호가 바뀝니다. 즉, $f'(x)$는 $x = \pm 1$에서 $0$이 되어야 하며, 위로 볼록한 이차함수 형태여야 합니다.
따라서 $f'(x)$를 다음과 같이 세울 수 있습니다 (단, $p < 0$).
$$f'(x) = p(x-1)(x+1) = p(x^2-1)$$
문제에서 $f'(0) = 6$이라고 주어졌으므로, $x=0$을 대입하면:
$$f'(0) = -p = 6 \implies p = -6$$
따라서 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = -6x^2 + 6$$
2단계: $f(x)$ 구하기와 $x=1$에서의 연속성 조건 확인하기
$f'(x)$를 부정적분하여 $f(x)$를 구합니다 (단, $C$는 적분상수).
$$f(x) = \int (-6x^2 + 6) dx = -2x^3 + 6x + C$$
이제 $x=1$에서의 우미분계수가 존재할 조건을 생각해봅시다.
$a=1$에서 우미분계수 $g'_+(1)$이 존재하려면, $g(x)$는 $x=1$에서 우측 연속이어야 합니다. (만약 우측 극한값과 함숫값이 다르면 우미분계수가 발산하게 됩니다.)
- $x \to 1+$ 일 때, $g(x) = f(x) + k \to f(1) + k$
- $x = 1$ 일 때, $g(1) = -f(1)$
따라서 우측 연속이 되려면 다음이 성립해야 합니다.
$$f(1) + k = -f(1) \implies k = -2f(1)$$
$f(1)$을 구해보면:
$$f(1) = -2(1)^3 + 6(1) + C = C + 4$$
이를 대입하여 $k$를 $C$에 대한 식으로 나타냅니다.
$$k = -2(C + 4) = -2C - 8$$
*(참고: $x=-1$에서는 $g(x)$가 $x \ge -1$ 범위에서 $-f(x)$로 정의되어 있으므로, 좌측과의 연속성 여부와 상관없이 우미분계수 $g'_+(-1) = -f'(-1) = 0$으로 항상 존재합니다.)*
3단계: $g(x)$의 그래프 개형과 조건 (나) 적용하기
구한 식들을 바탕으로 $g(x)$를 정리해봅시다.
$$g(x) = \begin{cases} -2x^3 + 6x - C - 8 & (x < -1 \text{ 또는 } x > 1) \\ 2x^3 - 6x - C & (-1 \le x \le 1) \end{cases}$$
각 구간 경계에서의 값을 알아봅시다.
- **$x < -1$ 구간**:
* $x \to -\infty$ 이면 $g(x) \to \infty$
* $x \to -1-$ 이면 $g(x) \to -2(-1)^3 + 6(-1) - C - 8 = -C - 12$
* 이 구간에서 $g(x)$는 감소합니다.
- **$-1 \le x \le 1$ 구간**:
* $x = -1$ 일 때, $g(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) - C = -C + 4$
* $x = 1$ 일 때, $g(1) = 2(1)^3 - 6(1) - C = -C - 4$
* 이 구간에서 $g(x)$는 감소합니다.
- **$x > 1$ 구간**:
* $x \to 1+$ 이면 $g(x) \to -C - 4$ (연속)
* $x \to \infty$ 이면 $g(x) \to -\infty$
* 이 구간에서 $g(x)$는 감소합니다.
이 정보를 바탕으로 $y=g(x)$의 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.
- $x < -1$에서 감소하다가, $x = -1$ 직전에 $-C-12$에 도달합니다.
- $x = -1$이 되는 순간 함숫값은 $-C+4$로 위로 점프(불연속)합니다.
- $x \ge -1$인 모든 구간에서는 끊김 없이 계속 감소하여 $-\infty$로 내려갑니다.
이제 가로선 $y=t$를 그어 교점의 개수(실근의 개수)를 파악해봅시다.
- $t > -C+4$ 일 때: $x < -1$ 영역에서만 교점이 $1$개 생깁니다.
- $-C-12 < t \le -C+4$ 일 때: $x < -1$ 영역에서 $1$개, $x \ge -1$ 영역에서 $1$개로 총 **$2$개의 교점**이 생깁니다.
- $t \le -C-12$ 일 때: $x \ge -1$ 영역에서만 교점이 $1$개 생깁니다.
따라서 교점의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$의 범위는 다음과 같습니다.
$$-C-12 < t \le -C+4$$
조건 (나)에서 이러한 $t$의 최댓값이 $13$이라고 했으므로:
$$-C+4 = 13 \implies C = -9$$
4단계: 최종 값 계산하기
구한 $C = -9$를 대입하여 $k$와 $f\left(\frac{1}{2}\right)$의 값을 구합니다.
- $k = -2C - 8 = -2(-9) - 8 = 10$
- $f(x) = -2x^3 + 6x - 9$ 이므로,
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{8}\right) + 6\left(\frac{1}{2}\right) - 9 = -\frac{1}{4} + 3 - 9 = -\frac{25}{4}$$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$k + f\left(\frac{1}{2}\right) = 10 - \frac{25}{4} = \frac{40}{4} - \frac{25}{4} = \frac{15}{4}$$
답
① $\frac{15}{4}$
확인해보기
질문: 왜 $x=1$에서는 우미분계수가 존재하기 위해 함수 $g(x)$가 연속이어야 하고, $x=-1$에서는 불연속이어도 우미분계수가 존재할 수 있었을까요? 두 지점에서 $g(x)$가 정의된 방식을 비교하며 생각해보세요.