어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질을 이용하여 주어진 로그방정식을 만족하는 실수 $x$의 값을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 진수(로그 기호 안의 식)가 항상 $0$보다 커야 합니다. 방정식을 풀기 전에 반드시 확인해야 하는 가장 중요한 단계입니다.
- 로그의 밑 변환과 성질: 밑이 다른 로그를 비교하기 위해 밑을 통일해야 합니다. 이때 공식 $\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n}\log_a b$를 사용합니다.
- 로그의 합 공식: 밑이 같은 두 로그의 합은 진수의 곱으로 나타낼 수 있습니다. ($\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$)
단계별 풀이
1단계: 진수 조건 확인하기
로그 문제를 풀 때 가장 먼저 해야 할 일은 로그가 정의될 조건을 구하는 것입니다. 진수는 항상 양수여야 하므로, 문제에 등장하는 두 진수 $x+1$과 $x-1$이 모두 양수여야 합니다.
$$x+1 > 0 \implies x > -1$$
$$x-1 > 0 \implies x > 1$$
이 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 우리가 구하는 $x$는 반드시 다음 범위를 만족해야 합니다.
$$x > 1$$
2단계: 우변의 로그 단순화하기 (밑 통일하기)
좌변의 로그들은 밑이 $5$인데, 우변의 로그는 밑이 $25$입니다. 밑을 $5$로 통일해 주면 비교하기 쉽겠죠? $25 = 5^2$이고 $9 = 3^2$임을 이용하여 우변을 정리해 봅시다.
$$\log_{25}9 = \log_{5^2}(3^2)$$
로그의 성질에 의해 밑의 지수는 분모로, 진수의 지수는 분자로 나갈 수 있습니다.
$$\log_{5^2}(3^2) = \frac{2}{2}\log_5 3 = \log_5 3$$
따라서 우변은 간단히 $\log_5 3$이 됩니다.
3단계: 좌변의 로그 합치기
이제 좌변의 두 로그를 하나로 합쳐 봅시다. 밑이 $5$로 같으므로, 로그의 덧셈 성질을 이용해 진수끼리 곱해줍니다.
$$\log_5(x+1) + \log_5(x-1) = \log_5 \{(x+1)(x-1)\}$$
합차 공식 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$을 적용하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\log_5(x^2 - 1)$$
4단계: 방정식 풀고 해 구하기
이제 좌변과 우변이 모두 밑이 $5$인 로그로 정리되었습니다.
$$\log_5(x^2 - 1) = \log_5 3$$
밑이 같으므로 진수끼리 서로 같아야 합니다.
$$x^2 - 1 = 3$$
$$x^2 = 4$$
$$x = 2 \quad \text{또는} \quad x = -2$$
5단계: 진수 조건과 비교하여 최종 답 선택하기
1단계에서 구한 진수 조건이 무엇이었나요? 바로 $x > 1$이었습니다.
따라서 $x = -2$는 조건에 맞지 않아 버려야 하고, 조건에 맞는 진짜 답은 $x = 2$뿐입니다.
답
$$x = 2$$
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요. (진수 조건을 먼저 확인하는 것을 잊지 마세요!)
> 질문: 방정식 $\log_3(x-2) + \log_3 x = \log_9 9$를 만족시키는 실수 $x$의 값은 무엇일까요?