어떤 문제인가
이 문제는 미분된 함수(도함수) $f'(x)$가 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 찾아내고 특정 함숫값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 미분의 반대 연산으로, 도함수 $f'(x)$로부터 원래 함수 $f(x)$를 구하는 방법입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 상수항으로, 문제에서 주어진 조건 $f(0)=3$을 이용해 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$를 적분하여 $f(x)$의 식 세우기
미분해서 $3x^2 + 4x$가 되는 원래의 함수 $f(x)$를 찾기 위해 부정적분을 이용합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 + 4x) \, dx$$
다항함수의 적분 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ (단, $C$는 적분상수)를 적용해 봅시다.
$$f(x) = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3\right) + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) + C$$
$$f(x) = x^3 + 2x^2 + C$$
여기서 $C$는 아직 알지 못하는 상수(적분상수)입니다.
2단계: 조건 $f(0)=3$을 대입하여 적분상수 $C$ 구하기
함수 $f(x)$에 $x=0$을 대입했을 때의 값이 $3$이라는 조건을 이용해서 $C$의 값을 구합니다.
$$f(0) = 0^3 + 2(0)^2 + C = 3$$
$$C = 3$$
따라서 우리가 구하고자 했던 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같이 완성됩니다.
$$f(x) = x^3 + 2x^2 + 3$$
3단계: $f(1)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x=1$을 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f(1) = 1^3 + 2(1)^2 + 3$$
$$f(1) = 1 + 2 + 3 = 6$$
답
$$6$$
확인해보기
만약 도함수가 $f'(x) = 2x + 5$이고 $f(1) = 10$이라면, $f(2)$의 값은 어떻게 구할 수 있을까요? 방금 배운 단계를 생각하며 스스로 풀이 과정을 머릿속으로 그려보세요.