어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 시그마($\sum$)의 성질과 공식을 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **시그마($\sum$)의 기본 성질**: 시그마 기호 안의 덧셈은 각각 나누어 쓸 수 있고, 상수는 시그마 앞으로 꺼낼 수 있습니다.
- 자연수의 합 공식: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
- 자연수의 제곱의 합 공식: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
단계별 풀이
1단계: 시그마 식을 성질에 맞게 분리하기
시그마 기호 뒤에 복잡한 식 $k^2 + 2k$가 붙어 있습니다. 시그마의 성질을 이용해서 이 식을 우리가 공식을 바로 적용할 수 있는 쉬운 형태로 쪼개어 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{6} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{6} k^2 + \sum_{k=1}^{6} 2k$$
여기서 $2k$의 상수 $2$는 시그마 앞으로 보낼 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{6} k^2 + 2\sum_{k=1}^{6} k$$
이제 식을 두 부분($\sum k^2$ 부분과 $\sum k$ 부분)으로 나누어 계산할 준비가 되었습니다.
2단계: 각각의 공식 적용하기
우리가 구하고자 하는 합의 끝항은 $n=6$입니다. 공식에 $n=6$을 대입하여 각각 계산해 봅시다.
**① 앞부분 계산: $\sum_{k=1}^{6} k^2$**
제곱의 합 공식을 사용합니다.
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
여기에 $n=6$을 대입하면,
$$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6 \times (6+1) \times (2 \times 6 + 1)}{6} = \frac{6 \times 7 \times 13}{6}$$
분모와 분자의 $6$을 약분하면 다음과 같습니다.
$$7 \times 13 = 91$$
**② 뒷부분 계산: $2\sum_{k=1}^{6} k$**
자연수의 합 공식을 사용합니다.
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$
여기에 $n=6$을 대입하고 앞에 곱해진 $2$를 잊지 말고 곱해줍니다.
$$2\sum_{k=1}^{6} k = 2 \times \frac{6 \times (6+1)}{2} = 2 \times \frac{6 \times 7}{2}$$
분모의 $2$와 앞의 $2$를 약분하면 다음과 같습니다.
$$6 \times 7 = 42$$
3단계: 두 값을 더해 최종 결과 구하기
1단계에서 분리했던 두 부분의 값을 더해줍니다.
$$\sum_{k=1}^{6} (k^2 + 2k) = 91 + 42 = 133$$
답
$$133$$
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
만약 시그마의 범위가 $k=1$부터 $5$까지라면, $\sum_{k=1}^{5} (k^2 + 2k)$의 값은 얼마가 될지 스스로 계산해 보세요!