어떤 문제인가
이 문제는 주어진 3차함수의 극댓값을 이용해 미지수 $a$의 값을 구한 뒤, 최종적으로 함수의 극솟값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 도함수와 극값의 관계: 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, 극값을 갖는 지점에서는 도함수 $f'(x) = 0$이 됩니다.
- 극대와 극소의 판정: $f'(x) = 0$인 점을 기준으로 $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 극대, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 극소가 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 함수의 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수가 어디서 증가하고 감소하는지, 즉 극값을 갖는 후보 지점을 찾기 위해 먼저 $f(x)$를 미분해 봅시다.
$$f(x) = 3x^3 - 9x^2 + a$$
이 식을 $x$에 대해 미분하면,
$$f'(x) = 9x^2 - 18x$$
인수분해를 하면 도함수를 더 쉽게 분석할 수 있어요.
$$f'(x) = 9x(x - 2)$$
2단계: 극대와 극소가 되는 $x$값 찾기
도함수 $f'(x) = 0$이 되는 $x$값을 먼저 찾습니다.
$$9x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ 또는 } x = 2$$
이제 $x = 0$과 $x = 2$ 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 어떻게 변하는지 살펴볼까요? $y = f'(x)$는 아래로 볼록한 이차함수 그래프입니다.
- $x < 0$ 일 때: $f'(x) > 0$ (함수 증가)
- $0 < x < 2$ 일 때: $f'(x) < 0$ (함수 감소)
- $x > 2$ 일 때: $f'(x) > 0$ (함수 증가)
따라서,
- $x = 0$에서 증가하다가 감소하므로 극대를 갖습니다. 즉, 극댓값은 $f(0)$입니다.
- $x = 2$에서 감소하다가 증가하므로 극소를 갖습니다. 즉, 극솟값은 $f(2)$입니다.
3단계: 극댓값을 이용해 상수 $a$ 구하기
문제에서 극댓값이 $20$이라고 주어졌습니다. 2단계에서 극댓값은 $f(0)$임을 알아냈으니, 이를 이용해 식을 세워봅시다.
$$f(0) = 3(0)^3 - 9(0)^2 + a = 20$$
$$a = 20$$
상수 $a$의 값이 $20$임을 쉽게 찾았네요! 따라서 원래 함수는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 3x^3 - 9x^2 + 20$$
4단계: 극솟값 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 극솟값입니다. 극솟값은 $x = 2$일 때의 함숫값이므로, $f(2)$를 계산해 봅시다.
$$f(2) = 3(2)^3 - 9(2)^2 + 20$$
$$f(2) = 3(8) - 9(4) + 20$$
$$f(2) = 24 - 36 + 20$$
$$f(2) = 8$$
따라서 구하고자 하는 극솟값은 $8$입니다.
답
$$8$$
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 이 문제에서 함수 $f(x)$의 극댓값이 $20$이 아니라 $10$이었다면, 이 함수의 극솟값은 얼마가 될까요? 오늘 배운 단계를 차근차근 적용해서 직접 계산해 보세요!