어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$에 대하여 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$는 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$를 의미합니다.
- 함수의 대입과 식 정리: 복잡해 보이는 식도 차근차근 대입하여 정리하면 간단해집니다.
이 문제를 푸는 방법은 직접 대입해서 극한값을 구하는 방법과 미분공식을 이용하는 방법 두 가지가 있습니다. 두 방법 모두 알아두면 수학 실력 향상에 큰 도움이 됩니다. 차근차근 같이 풀어봅시다!
단계별 풀이
방법 1: 직접 대입하여 극한값 구하기 (기본 원리)
1단계: $f(1+h)$와 $f(1)$의 값 구하기
먼저 식에 대입할 두 값을 각각 구해봅시다. 함수 $f(x) = x^2 - x + 1$의 $x$ 자리에 각각 $1+h$와 $1$을 대입합니다.
- $f(1)$ 구하기:
$$f(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$$
- $f(1+h)$ 구하기:
$$f(1+h) = (1+h)^2 - (1+h) + 1$$
전개해서 정리해 볼까요?
$$f(1+h) = (1 + 2h + h^2) - 1 - h + 1 = h^2 + h + 1$$
2단계: 분자 $f(1+h) - f(1)$ 계산하기
이제 분자 식을 정리해 봅시다. 1단계에서 구한 값들을 넣어줍니다.
$$f(1+h) - f(1) = (h^2 + h + 1) - 1 = h^2 + h$$
3단계: 극한값 계산하기
이제 원래 구하고자 했던 극한 식에 대입합니다.
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h}$$
분자를 $h$로 묶어줍니다.
$$\lim_{h \to 0} \frac{h(h + 1)}{h}$$
$h$가 $0$으로 갈 때, $h$는 $0$에 한없이 가까워질 뿐 $0$은 아니므로 분모와 분자의 $h$를 약분할 수 있습니다.
$$\lim_{h \to 0} (h + 1)$$
이제 $h$에 $0$을 대입하면 극한값을 얻을 수 있습니다.
$$\lim_{h \to 0} (h + 1) = 0 + 1 = 1$$
방법 2: 미분계수의 정의와 미분공식 이용하기 (빠른 방법)
1단계: 식의 의미 파악하기
미분계수의 정의에 의해, 우리가 구하고자 하는 식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = f'(1)$$
즉, 이 문제는 함수 $f(x)$를 미분한 후 $x=1$을 대입한 값($f'(1)$)을 구하라는 말과 같습니다.
2단계: 도함수 $f'(x)$ 구하고 $f'(1)$ 계산하기
함수 $f(x) = x^2 - x + 1$을 미분공식을 이용해 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 2x - 1$$
여기에 $x=1$을 대입합니다.
$$f'(1) = 2(1) - 1 = 1$$
두 가지 방법 모두 결과가 $1$로 같음을 확인할 수 있습니다!
답
**① $1$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 함수 $g(x) = 2x^2 + 3$ 일 때, 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$는 미분계수 기호로 어떻게 나타낼 수 있을까요? 그리고 그 값은 얼마일까요? (위에서 배운 두 가지 방법 중 편한 방법을 사용해 구해 보세요.)