어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 이용해 빈칸 (가), (나), (다)에 들어갈 수를 구하는 문제입니다. 우리가 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 합성함수 방정식의 풀이 (치환): $f(f(x)) = f(x)$와 같은 꼴은 $f(x) = t$로 치환하여 단계별로 해결합니다.
- 주기함수의 성질: $f(x+4) = f(x)$라는 식은 함수의 그래프가 $4$의 간격으로 똑같이 반복된다는 뜻입니다. 이에 따라 방정식의 실근도 일정한 규칙(주기)을 가지고 나타납니다.
- 등차수열의 일반항: 일정한 수(공차)가 더해지는 수열의 규칙을 찾아 원하는 번째의 항을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: (가) 구하기 — $0 \le x < 4$ 범위에서 실근 구하기
문제에서 $f(f(x)) = f(x)$의 실근을 구하기 위해 우선 $f(x) = t$로 치환해 봅시다.
그러면 방정식은 $f(t) = t$가 됩니다.
문제의 첫 줄에서 $f(x) = x$의 실근이 $0$과 $3$이라고 알려주었습니다. 따라서 $t$가 될 수 있는 값은 $0$ 또는 $3$입니다.
우리가 원래 구하려던 것은 $x$이므로, 다시 $t$를 $f(x)$로 돌려놓으면 다음 두 방정식을 풀어야 합니다.
$$f(x) = 0 \quad \text{또는} \quad f(x) = 3$$
이제 범위 $0 \le x < 4$에서 두 방정식을 각각 풀어봅시다. 이 범위에서 $f(x) = -x^2 + 4x$입니다.
- **경우 1) $f(x) = 0$ 일 때**
$$-x^2 + 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$$
따라서 $x = 0$ 또는 $x = 4$입니다. 하지만 범위가 $0 \le x < 4$이므로 **$x = 0$**만 해가 됩니다.
- **경우 2) $f(x) = 3$ 일 때**
$$-x^2 + 4x = 3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0$$
따라서 **$x = 1$ 또는 $x = 3$**입니다. 두 값 모두 범위 $0 \le x < 4$에 포함됩니다.
따라서 $0 \le x < 4$에서 모든 실근을 작은 수부터 쓰면 $0, 1, 3$이 됩니다.
문제에서 이 근들을 $a_1 = 0$, $a_2 = \text{(가)}$, $a_3 = 3$이라 했으므로,
$$\text{(가)} = 1$$
즉, $p = 1$입니다.
2단계: (나) 구하기 — 주기를 이용해 수열의 공차 찾기
함수 $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대해 $f(x+4) = f(x)$를 만족하는, 주기가 $4$인 주기함수입니다.
이 말은 그래프가 $4$마다 똑같이 반복되므로, 방정식의 근 또한 $4$를 더한 값으로 똑같이 반복해서 나타난다는 뜻입니다.
첫 번째 주기 $[0, 4)$에서의 근이 $0, 1, 3$이었으므로,
두 번째 주기 $[4, 8)$에서의 근은 여기에 각각 $4$를 더한 $4, 5, 7$이 됩니다.
세 번째 주기 $[8, 12)$에서의 근은 또 $4$를 더한 $8, 9, 11$이 되겠지요.
이 근들을 차례대로 나열해 보면 다음과 같습니다.
$$a_1=0, \; a_2=1, \; a_3=3$$
$$a_4=4, \; a_5=5, \; a_6=7$$
$$a_7=8, \; a_8=9, \; a_9=11$$
이 수열을 세 개씩 묶어서 규칙을 보면:
- $\{a_{3n-2}\} : 0, 4, 8, \dots \implies$ 첫째항이 $0$이고 공차가 $4$인 등차수열
- $\{a_{3n-1}\} : 1, 5, 9, \dots \implies$ 첫째항이 $1$이고 공차가 $4$인 등차수열
- $\{a_{3n}\} : 3, 7, 11, \dots \implies$ 첫째항이 $3$이고 공차가 $4$인 등차수열
따라서 세 수열의 공차는 모두 $4$입니다.
$$\text{(나)} = 4$$
즉, $q = 4$입니다.
3단계: (다) 구하기 — $a_{20} + a_{21} + a_{22}$ 계산하기
이제 우리가 구해야 할 세 항 $a_{20}, a_{21}, a_{22}$의 값을 등차수열의 일반항 공식을 이용해 구해봅시다. 등차수열의 일반항은 $a_n = (\text{첫째항}) + (n-1) \times (\text{공차})$입니다.
- **$a_{21}$ 구하기**
$21$은 $3$의 배수이므로 수열 $\{a_{3n}\}$에 속합니다. $21 = 3 \times 7$이므로 이 수열의 $7$번째 항입니다.
$$a_{21} = 3 + (7-1) \times 4 = 3 + 24 = 27$$
- **$a_{20}$ 구하기**
$20$은 $3 \times 7 - 1$이므로 수열 $\{a_{3n-1}\}$에 속합니다. 이 수열의 $7$번째 항입니다.
$$a_{20} = 1 + (7-1) \times 4 = 1 + 24 = 25$$
- **$a_{22}$ 구하기**
$22$는 $3 \times 8 - 2$이므로 수열 $\{a_{3n-2}\}$에 속합니다. 이 수열의 $8$번째 항입니다.
$$a_{22} = 0 + (8-1) \times 4 = 0 + 28 = 28$$
따라서 세 수의 합은 다음과 같습니다.
$$a_{20} + a_{21} + a_{22} = 25 + 27 + 28 = 80$$
$$\text{(다)} = 80$$
즉, $r = 80$입니다.
4단계: 최종 값 $p+q+r$ 구하기
우리가 구한 세 값 $p, q, r$을 더해줍니다.
$$p + q + r = 1 + 4 + 80 = 85$$
답
$$85$$
확인해보기
오늘 배운 규칙을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 이 문제의 조건과 수열의 규칙을 그대로 유지할 때, **$a_{30}$**의 값은 얼마일까요? (힌트: $30$은 $3$의 배수이므로 어떤 수열에 속하는지 생각해 보세요!)