어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 가지 극한 조건이 **모든 실수 $a$에 대해 존재하도록** 사차함수 $g(x)$를 결정하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 우극한과 좌극한의 일치: 어떤 점 $a$에서 극한값이 존재하려면, $a$의 오른쪽에서 다가갈 때의 값(우극한)과 왼쪽에서 다가갈 때의 값(좌극한)이 서로 같아야 합니다.
- 절댓값 기호의 처리: 절댓값 안의 식의 부호가 양수인지 음수인지에 따라 식의 모양이 달라집니다.
- 인수정리: 다항함수 $P(x)$에 대해 $P(\alpha) = 0$이면, $P(x)$는 $(x-\alpha)$를 인수로 가집니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건 분석하기 — $g(1)=0, g(2)=0$ 유도하기
첫 번째 조건은 모든 실수 $a$에 대하여 다음 극한값이 존재한다는 것입니다.
$$ \lim_{x \to a} \frac{g(x) \times |f(x)|}{f(x)} $$
여기서 분모에 있는 $f(x) = (x-1)(x-2)$는 $x=1$과 $x=2$에서 $0$이 됩니다. $a$가 $1$이나 $2$가 아닐 때는 분모가 $0$이 되지 않으므로 극한값이 항상 존재합니다. 따라서 우리는 **$a=1$과 $a=2$일 때 극한값이 존재할 조건**만 확인하면 됩니다.
먼저 $a=1$일 때의 좌우극한을 비교해 봅시다. $x$가 $1$에 가까워질 때, $f(x)$의 부호를 생각해야 합니다.
- **우극한 ($x \to 1^+$)**: $1 < x < 2$ 범위에서 $f(x) = (x-1)(x-2) < 0$이므로, $|f(x)| = -f(x)$입니다.
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{g(x) \times \{-f(x)\}}{f(x)} = \lim_{x \to 1^+} \{-g(x)\} = -g(1) $$
- **좌극한 ($x \to 1^-$)**: $x < 1$ 범위에서 $f(x) = (x-1)(x-2) > 0$이므로, $|f(x)| = f(x)$입니다.
$$ \lim_{x \to 1^-} \frac{g(x) \times f(x)}{f(x)} = \lim_{x \to 1^-} g(x) = g(1) $$
이 두 극한값이 같아야 극한값이 존재하므로, 다음 식을 만족해야 합니다.
$$ -g(1) = g(1) \implies 2g(1) = 0 \implies g(1) = 0 $$
같은 방법으로 $a=2$일 때도 좌우극한을 비교하면 **$g(2) = 0$**을 얻을 수 있습니다.
따라서 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $g(x)$는 $(x-1)$과 $(x-2)$를 인수로 가져야 하므로, 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다. (단, $q(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차식)
$$ g(x) = (x-1)(x-2)q(x) = f(x)q(x) $$
$$ (q(x) = x^2 + px + q) $$
2단계: 두 번째 조건 분석하기 — $q(1)=1, q(2)=1$ 유도하기
두 번째 조건은 모든 실수 $a$에 대하여 다음 극한값이 존재한다는 것입니다.
$$ \lim_{x \to a} \frac{|g(x)-f(x)|}{g(x)} $$
여기에 우리가 1단계에서 구한 $g(x) = f(x)q(x)$를 대입해 식을 정리해 봅시다.
$$ \frac{|f(x)q(x)-f(x)|}{f(x)q(x)} = \frac{|f(x)(q(x)-1)|}{f(x)q(x)} = \frac{|f(x)| \times |q(x)-1|}{f(x)q(x)} $$
이 식 역시 $f(x)=0$이 되는 $a=1$과 $a=2$에서 극한값이 존재해야 합니다.
$a=1$일 때의 좌우극한을 구해봅시다. (이때 $q(1) \neq 0$이라고 가정합니다. 만약 $q(1)=0$이면 분모의 $x-1$의 차수가 분자보다 커져서 극한값이 존재하지 않게 됩니다.)
- **우극한 ($x \to 1^+$)**: $f(x) < 0$이므로 $|f(x)| = -f(x)$
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{-f(x) \times |q(x)-1|}{f(x)q(x)} = -\frac{|q(1)-1|}{q(1)} $$
- **좌극한 ($x \to 1^-$)**: $f(x) > 0$이므로 $|f(x)| = f(x)$
$$ \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) \times |q(x)-1|}{f(x)q(x)} = \frac{|q(1)-1|}{q(1)} $$
이 두 값이 같아야 하므로,
$$ -\frac{|q(1)-1|}{q(1)} = \frac{|q(1)-1|}{q(1)} \implies |q(1)-1| = 0 \implies q(1) = 1 $$
마찬가지로 $a=2$일 때도 극한값이 존재하려면 **$q(2) = 1$**이어야 합니다.
3단계: 이차식 $q(x)$ 완성하기와 조건 검증
우리는 $q(x)$가 최고차항의 계수가 $1$인 이차식이고, $q(1)=1$, $q(2)=1$을 만족한다는 것을 알았습니다.
이것은 $q(x) - 1 = 0$이라는 방정식의 두 근이 $1$과 $2$라는 뜻과 같습니다!
따라서 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$ q(x) - 1 = (x-1)(x-2) $$
$$ q(x) = (x-1)(x-2) + 1 = x^2 - 3x + 3 $$
여기서 아주 중요한 검증 단계가 필요합니다!
두 번째 조건의 분모에 $g(x) = f(x)q(x)$가 있으므로, 만약 $q(x) = 0$을 만족하는 실수 $x$가 존재한다면 그 지점에서도 분모가 $0$이 되어 극한값이 존재하지 않을 위험이 있습니다.
$q(x) = x^2 - 3x + 3 = 0$의 판별식 $D$를 확인해 봅시다.
$$ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 9 - 12 = -3 < 0 $$
판별식이 음수이므로 $q(x) = 0$을 만족하는 실근은 존재하지 않습니다! 즉, 분모가 $0$이 되는 실수는 오직 $x=1, 2$뿐이므로 모든 실수 $a$에 대해 극한값이 존재한다는 조건이 완벽하게 성립합니다.
4단계: $g(-1)$ 계산하기
이제 최종적으로 구하고자 하는 사차함수 $g(x)$의 식은 다음과 같습니다.
$$ g(x) = (x-1)(x-2)(x^2-3x+3) $$
여기에 $x = -1$을 대입하여 값을 구합니다.
$$ g(-1) = (-1-1)(-1-2)\{(-1)^2 - 3(-1) + 3\} $$
$$ g(-1) = (-2) \times (-3) \times (1 + 3 + 3) $$
$$ g(-1) = 6 \times 7 = 42 $$
답
$$ 42 $$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼 수 있는 질문입니다.
> 질문: 함수 $h(x) = \frac{(x-k)|x|}{x}$ 가 $x=0$에서 극한값을 갖기 위한 상수 $k$의 값은 무엇일까요? 그리고 그 이유는 무엇일까요? (우극한과 좌극한을 나누어 생각해 보세요!)