어떤 문제인가
이 문제는 지수함수의 그래프 위에 있는 두 점 $\text{A}$와 $\text{B}$의 좌표를 구하고, 원점 $\text{O}$와 함께 이루는 삼각형 $\text{AOB}$의 넓이를 이용해 미지수 $k$에 관한 식을 해결하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수방정식의 풀이 (치환 이용): 복잡한 지수식에서 공통 부분을 치환하여 교점의 좌표를 구합니다.
- 함수의 단조증가성과 식의 구조 파악: 복잡한 방정식에서 식의 형태를 맞추어 직관적이고 빠르게 해를 구합니다.
- 사선 공식 (신발끈 공식): 세 점의 좌표가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 쉽게 구하는 공식을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 곡선의 교점 $\text{A}$의 좌표 구하기
점 $\text{A}$는 두 곡선 $y=2^x+\frac{k}{2}$와 $y=k\times\left(\frac{1}{2}\right)^x+k-2$가 만나는 점입니다. 교점의 $x$좌표를 구하기 위해 두 식을 같다고 놓습니다.
$$2^x + \frac{k}{2} = k \times 2^{-x} + k - 2$$
여기서 계산을 편리하게 하기 위해 $2^x = t$ ($t > 0$)로 치환해 봅시다.
$$t + \frac{k}{2} = \frac{k}{t} + k - 2$$
양변에 $2t$를 곱하여 분모를 없애고 정리합니다.
$$2t^2 + kt = 2k + 2kt - 4t$$
$$2t^2 + (4-k)t - 2k = 0$$
이 이차방정식은 인수분해가 가능합니다! 곱해서 $-2k$가 되고 더해서 $4-k$가 되는 두 수를 찾으면 됩니다.
$$(2t - k)(t + 2) = 0$$
$t > 0$이어야 하므로, $t = \frac{k}{2}$입니다.
원래 치환했던 $t = 2^x$를 대입하면,
$$2^x = \frac{k}{2} \implies x = \log_2 \left(\frac{k}{2}\right) = \log_2 k - 1$$
이때 점 $\text{A}$의 $y$좌표는 첫 번째 곡선 식에 $2^x = \frac{k}{2}$를 대입하여 구할 수 있습니다.
$$y = \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = k$$
따라서 점 $\text{A}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{A}(\log_2 k - 1, \, k)$$
여기서 식을 더 깔끔하게 다루기 위해 $\log_2 k - 1 = a$라고 두겠습니다. 그러면 $k = 2^{a+1}$이 되며, 점 $\text{A}$의 좌표는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\text{A}(a, \, 2^{a+1})$$
2단계: 점 $\text{B}$의 좌표 구하기
점 $\text{A}(a, 2^{a+1})$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - 2^{a+1} = -(x - a) \implies x + y = a + 2^{a+1}$$
이 직선과 곡선 $y = 2^{x-2} - 3$이 만나는 점이 바로 $\text{B}$입니다. 교점의 $x$좌표를 구하기 위해 $y$를 대입해 봅시다.
$$x + (2^{x-2} - 3) = a + 2^{a+1}$$
$$2^{x-2} + x = 2^{a+1} + a + 3$$
이 식의 우변을 좌변의 형태($2^{\square-2} + \square$)와 비슷하게 맞추어 볼까요? 우변의 지수 부분을 $2^{(a+3)-2}$로 바꾸고, 남은 상수들을 정리해 봅시다.
$$2^{a+1} + a + 3 = 2^{(a+3)-2} + (a+3)$$
놀랍게도 식의 구조가 완벽하게 일치합니다! 즉, 방정식은 다음과 같습니다.
$$2^{x-2} + x = 2^{(a+3)-2} + (a+3)$$
함수 $f(t) = 2^{t-2} + t$는 밑이 2인 지수함수와 일차함수의 합이므로 실수 전체에서 단조증가하는 일대일 대응 함수입니다. 따라서 위 방정식을 만족하는 실근은 단 하나만 존재합니다.
$$x = a + 3$$
이제 점 $\text{B}$의 $y$좌표를 구하기 위해 직선의 방정식 $x+y = a+2^{a+1}$에 $x = a+3$을 대입합니다.
$$(a+3) + y = a + 2^{a+1} \implies y = 2^{a+1} - 3$$
따라서 점 $\text{B}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{B}(a+3, \, 2^{a+1}-3)$$
3단계: 삼각형 $\text{AOB}$의 넓이 공식 적용하기
세 점 $\text{O}(0,0)$, $\text{A}(a, 2^{a+1})$, $\text{B}(a+3, 2^{a+1}-3)$로 이루어진 삼각형의 넓이를 구합니다.
계산을 간단하게 하기 위해 $Y = 2^{a+1}$이라 두면, 두 점은 $\text{A}(a, Y)$, $\text{B}(a+3, Y-3)$가 됩니다.
원점을 한 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 공식(사선 공식)을 사용해 봅시다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} |x_A y_B - y_A x_B|$$
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} |a(Y-3) - Y(a+3)|$$
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} |aY - 3a - aY - 3Y| = \frac{3}{2} |a + Y|$$
문제에서 이 넓이가 $16$이라고 주어졌으므로,
$$\frac{3}{2} |a + Y| = 16 \implies |a + Y| = \frac{32}{3}$$
원래의 문자들을 대입해 볼까요? $a = \log_2 k - 1$이고 $Y = k$입니다.
문제 조건에서 $k > 1$이므로, $a = \log_2 k - 1 > -1$이고 $Y = k > 1$입니다.
따라서 $a + Y = \log_2 k - 1 + k > 0$이므로 절댓값을 그냥 벗길 수 있습니다.
$$\log_2 k - 1 + k = \frac{32}{3}$$
$$k + \log_2 k = \frac{32}{3} + 1 = \frac{35}{3}$$
4단계: 최종 답 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $k + \log_2 k = \frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값입니다.
$$\frac{q}{p} = \frac{35}{3}$$
$3$과 $35$는 서로소인 자연수이므로, $p=3$, $q=35$입니다.
$$p+q = 3 + 35 = 38$$
답
$$38$$
확인해보기
질문: 2단계 풀이 과정에서 $2^{x-2} + x = 2^{(a+3)-2} + (a+3)$이라는 식을 보고 바로 $x = a+3$이라는 결론을 내렸습니다. 만약 이 함수가 일대일 대응(단조증가) 함수가 아니라, $y=x^2$과 같이 증가와 감소를 반복하는 함수였다면 위와 같이 바로 하나의 해만 존재한다고 결론을 내릴 수 없었을 것입니다.
그렇다면, 함수 $f(t) = 2^{t-2} + t$가 실수 전체의 집합에서 항상 증가하는 함수(단조증가 함수)임을 수학적으로 어떻게 설명할 수 있을까요? (힌트: 지수함수 $y=2^{t-2}$와 일차함수 $y=t$의 그래프의 성질을 생각해보세요.)