어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 시그마($\sum$)의 성질을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 분배법칙: 더해진 두 식은 각각 시그마를 취해 더할 수 있습니다. ($\sum (x_k + y_k) = \sum x_k + \sum y_k$)
- 상수배의 성질: 시그마 안의 상수는 시그마 앞으로 꺼낼 수 있습니다. ($\sum c \cdot a_k = c \sum a_k$)
- 상수의 합: 상수만 있는 시그마는 상수를 항의 개수만큼 곱한 것과 같습니다. ($\sum_{k=1}^{n} c = c \times n$)
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 식을 시그마의 성질을 이용해 분해하기
우리가 구해야 하는 식은 $\sum_{k=1}^{7} (2a_k + 1)$입니다.
시그마 기호 안의 덧셈과 실수배(2배)를 성질에 맞게 나누어 써 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{7} (2a_k + 1) = \sum_{k=1}^{7} 2a_k + \sum_{k=1}^{7} 1$$
여기서 $2a_k$의 숫자 $2$는 시그마 앞으로 나갈 수 있으므로, 식을 더 정리하면 다음과 같습니다.
$$= 2\sum_{k=1}^{7} a_k + \sum_{k=1}^{7} 1$$
이제 식을 크게 두 부분($2\sum_{k=1}^{7} a_k$와 $\sum_{k=1}^{7} 1$)으로 나누어 계산할 준비가 되었습니다.
2단계: 각 부분의 값 계산하고 합치기
이제 나누어 놓은 두 부분을 각각 계산해 봅시다.
- 첫 번째 부분: $2\sum_{k=1}^{7} a_k$
문제에서 $\sum_{k=1}^{7} a_k = 8$이라고 알려주었습니다. 따라서 이 값은 다음과 같습니다.
$$2 \times 8 = 16$$
- 두 번째 부분: $\sum_{k=1}^{7} 1$
이 식은 $k$가 $1$부터 $7$까지 변할 때, 매번 $1$이라는 상수를 더하라는 뜻입니다. 즉, $1$을 총 $7$번 더하라는 의미입니다.
$$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 \times 7 = 7$$
두 결과를 더해 최종 답을 구합니다.
$$16 + 7 = 23$$
답
③ $23$
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 수열 $\{b_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} b_k = 10$일 때, $\sum_{k=1}^{5} (3b_k - 2)$의 값은 얼마일까요? (상수 $-2$를 5번 더하는 것에 주의하세요!)