어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수가 모든 실수에서 끊어지지 않고 부드럽게 이어지도록 하는 미지수 $a$의 값을 찾는 함수의 연속에 관한 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속성: 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있으려면, 특정 지점에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
- 경계점에서의 연속: 주어진 함수 $f(x)$는 $x < 3$과 $x \ge 3$일 때 각각 다항함수(이차함수, 일차함수)이므로 각 구간에서는 항상 연속입니다. 따라서 경계가 되는 지점인 $x = 3$에서만 연속이면 실수 전체에서 연속이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: $x = 3$에서 연속일 조건 세우기
함수 $f(x)$가 $x = 3$에서 연속이 되려면, $x=3$으로 갈 때의 왼쪽 극한(좌극한)과 오른쪽 극한(우극한), 그리고 $x=3$에서의 실제 함숫값이 모두 같아야 합니다.
즉, 아래의 식을 만족해야 합니다.
$$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$$
2단계: 좌극한 구하기
$x$가 $3$보다 작은 쪽에서 $3$에 가까워질 때($x < 3$)의 함수 식은 $-x^2 + a$입니다. 이 식에 $x = 3$을 대입하여 좌극한을 구합니다.
$$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (-x^2 + a) = -(3)^2 + a = -9 + a$$
3단계: 우극한과 함숫값 구하기
$x$가 $3$보다 크거나 같은 쪽에서 $3$에 가까워질 때($x \ge 3$)의 함수 식은 $5x - a$입니다. 이 식에 $x = 3$을 대입하여 우극한과 함숫값 $f(3)$을 구합니다.
$$\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = 5(3) - a = 15 - a$$
4단계: 두 값이 같다고 놓고 $a$의 값 구하기
함수가 끊어지지 않고 이어지려면 2단계에서 구한 좌극한과 3단계에서 구한 우극한(함숫값)이 서로 같아야 합니다.
$$-9 + a = 15 - a$$
이제 이 방정식을 풀어볼까요? 양변에 $a$를 더하고, $9$를 더해줍니다.
$$2a = 24$$
$$a = 12$$
따라서 구하고자 하는 상수 $a$의 값은 $12$입니다.
답
③ $12$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문]
> 함수 $g(x) = \begin{cases} 3x + b & (x < 2) \\ x^2 - b & (x \ge 2) \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $b$의 값은 얼마일까요?