어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항함수의 정적분(Definite Integral) 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분 구하기: 미분의 역연산인 적분 공식을 이용하여 각 항의 부정적분을 구합니다. ($\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$)
- 정적분의 기본 정리: 구한 부정적분에 위끝($2$)과 아래끝($0$)을 대입하여 그 차를 계산합니다. ($\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$)
단계별 풀이
1단계: 피적분함수의 부정적분 구하기
정적분을 계산하기 위해 먼저 괄호 안의 함수 $f(x) = 6x^2 - 2x + 1$의 부정적분 $F(x)$를 구합니다. 각 항을 하나씩 적분해 봅시다.
- $6x^2$ 적분하기:
$$6 \times \frac{1}{2+1}x^{2+1} = 6 \times \frac{1}{3}x^3 = 2x^3$$
- $-2x$ 적분하기:
$$-2 \times \frac{1}{1+1}x^{1+1} = -2 \times \frac{1}{2}x^2 = -x^2$$
- $1$ 적분하기:
$$1 \times x = x$$
따라서 부정적분 $F(x)$는 다음과 같습니다. (정적분에서는 위끝과 아래끝을 대입할 때 적분상수 $C$가 서로 빼져서 사라지므로 생략해도 괜찮습니다.)
$$F(x) = 2x^3 - x^2 + x$$
2단계: 위끝과 아래끝 대입하여 계산하기
이제 정적분의 정의에 따라 위끝인 $2$를 대입한 값에서 아래끝인 $0$을 대입한 값을 빼줍니다.
$$\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 1) dx = \left[ 2x^3 - x^2 + x \right]_{0}^{2}$$
- **위끝 $2$ 대입하기 ($F(2)$):**
$$2(2)^3 - (2)^2 + 2 = 2(8) - 4 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14$$
- **아래끝 $0$ 대입하기 ($F(0)$):**
$$2(0)^3 - (0)^2 + 0 = 0$$
두 값을 빼면 최종 결과를 얻을 수 있습니다.
$$F(2) - F(0) = 14 - 0 = 14$$
답
② 14
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
만약 적분 구간이 $[0, 2]$가 아니라 $[1, 2]$로 바뀐다면, 즉 $\int_{1}^{2} (6x^2 - 2x + 1) dx$의 값은 얼마가 될지 스스로 계산해 보세요!