어떤 문제인가
이 문제는 삼각함수 $f(x) = a \cos bx + 1$의 그래프 성질을 이해하고, 주어진 최댓값과 주기를 이용해 미지수 $a$와 $b$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음 2가지입니다:
- 코사인 함수의 최댓값과 최솟값: $y = \cos \theta$의 범위를 이용하여 식 전체의 최댓값을 구하는 방법
- 코사인 함수의 주기: $x$의 계수가 주기에 미치는 영향
단계별 풀이
1단계: 최댓값 조건을 이용하여 $a$ 구하기
먼저 코사인 함수의 가장 기본적인 성질부터 출발해 봅시다.
어떤 각도 $bx$가 들어가더라도, 코사인 함수 $\cos bx$의 값은 항상 $-1$ 이상 $1$ 이하의 값을 가집니다. 즉,
$$-1 \le \cos bx \le 1$$
문제에서 $a$가 양수($a > 0$)라고 했으므로, 이 부등식의 모든 변에 $a$를 곱해도 부등호 방향은 바뀌지 않습니다.
$$-a \le a \cos bx \le a$$
이제 식에 $1$을 더해 함수 $f(x)$의 형태를 만들어 줍니다.
$$-a + 1 \le a \cos bx + 1 \le a + 1$$
따라서 함수 $f(x) = a \cos bx + 1$의 **최댓값은 $a + 1$**이 됩니다.
문제에서 최댓값이 $8$이라고 했으므로, 방정식을 세울 수 있습니다.
$$a + 1 = 8$$
$$a = 7$$
2단계: 주기 조건을 이용하여 $b$ 구하기
일반적인 코사인 함수 $y = \cos x$의 기본 주기는 $2\pi$입니다.
$x$ 앞에 계수 $b$가 붙어 $y = \cos bx$가 되면, 그래프가 좌우로 압축되거나 늘어나면서 주기가 변하게 됩니다. 이때의 주기 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{주기} = \frac{2\pi}{|b|}$$
문제에서 $b$ 역시 양수($b > 0$)라고 했으므로, 주기는 $\frac{2\pi}{b}$가 됩니다.
이 주기가 $\pi$라고 주어졌으므로 식을 세워봅시다.
$$\frac{2\pi}{b} = \pi$$
양변을 정리하면 $b$의 값을 구할 수 있습니다.
$$b = 2$$
3단계: $a+b$ 계산하기
우리가 구한 두 양수 $a = 7$, $b = 2$를 더해줍니다.
$$a + b = 7 + 2 = 9$$
답
④ $9$
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 두 양수 $p, q$에 대하여 함수 $g(x) = p \sin qx - 3$의 최솟값이 $-5$이고 주기가 $4\pi$일 때, $p$와 $q$의 값은 각각 무엇일까요? (사인 함수 $\sin \theta$의 최솟값도 $-1$이라는 점을 이용해 보세요!)