어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $g(x)$의 미분계수 $g'(3)$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음의 핵심 개념들을 사용할 거예요.
- 곱의 미분법: 두 함수가 곱해진 형태인 $u(x)v(x)$를 미분할 때는 $\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ 공식을 사용합니다.
- 미분의 기본 성질: 각 항을 더하거나 뺀 함수의 미분은 각각 미분해서 더하거나 빼면 됩니다.
- 미분계수의 대입: 도함수 $g'(x)$를 구한 뒤, 문제에서 주어진 조건($f(3)=2$, $f'(3)=1$)을 대입하여 최종 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $g(x)$를 미분하기 위한 계획 세우기
주어진 함수는 다음과 같습니다.
$$g(x) = 5x^2 + xf(x)$$
이 함수는 두 부분의 합으로 이루어져 있습니다.
- 첫 번째 항인 $5x^2$은 우리가 잘 아는 다항함수의 미분법을 쓰면 됩니다.
- 두 번째 항인 $xf(x)$는 변수 $x$와 함수 $f(x)$가 곱해진 형태이므로, 곱의 미분법을 적용해야 합니다.
2단계: $g(x)$의 도함수 $g'(x)$ 구하기
이제 각 항을 미분해 봅시다.
- $5x^2$을 미분하면:
$$(5x^2)' = 10x$$
- $xf(x)$를 곱의 미분법을 사용하여 미분하면:
$$(xf(x))' = (x)' \cdot f(x) + x \cdot f'(x) = 1 \cdot f(x) + xf'(x) = f(x) + xf'(x)$$
이 두 결과를 더하면 $g'(x)$를 얻을 수 있습니다.
$$g'(x) = 10x + f(x) + xf'(x)$$
3단계: $x=3$을 대입하여 $g'(3)$ 계산하기
우리가 구하고자 하는 것은 $g'(3)$이므로, 위에서 구한 $g'(x)$ 식의 $x$ 자리에 모두 $3$을 대입합니다.
$$g'(3) = 10(3) + f(3) + 3f'(3)$$
$$g'(3) = 30 + f(3) + 3f'(3)$$
문제에서 주어진 조건인 $f(3) = 2$, $f'(3) = 1$을 대입해 볼까요?
$$g'(3) = 30 + 2 + 3(1)$$
$$g'(3) = 30 + 2 + 3 = 35$$
따라서 구하고자 하는 값은 $35$입니다.
답
⑤ 35
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문:
> 함수 $h(x) = x^2 f(x)$가 있습니다. $f(2) = 3$, $f'(2) = 4$일 때, $h'(2)$의 값은 얼마일까요? (곱의 미분법을 적용해 직접 계산해 보세요!)