어떤 문제인가
이 문제는 삼각함수의 성질과 기본적인 항등식을 이용하여 $\cos\theta$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 각 변환 공식: $\sin(\pi-\theta)$를 간단한 삼각함수로 바꾸기
- 삼각함수의 부호: 사분면에 따른 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 부호 결정하기
- 삼각함수의 기본 관계식: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 이용하기
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건으로 $\sin\theta$의 부호 파악하기
우선 문제에서 주어진 첫 번째 조건은 $\sin(\pi-\theta) > 0$입니다.
각 변환 공식을 떠올려 볼까요? $y$축 대칭 성질에 의해 다음이 성립합니다.
$$\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$$
따라서 문제의 조건은 결국 **$\sin\theta > 0$**이라는 뜻입니다.
2단계: 두 번째 조건으로 $\cos\theta$의 부호 결정하기
두 번째 조건은 $2\cos\theta = \sin\theta$입니다.
우리는 1단계에서 $\sin\theta$가 양수($>0$)라는 것을 알아냈습니다.
그렇다면 식 $2\cos\theta = \sin\theta$에서 우변이 양수이므로, 좌변인 $2\cos\theta$도 반드시 양수여야 합니다.
$$2\cos\theta > 0 \implies \cos\theta > 0$$
즉, $\sin\theta$와 $\cos\theta$가 모두 양수이므로 $\theta$는 제1사분면의 각이라는 것도 알 수 있겠네요! 우리가 구하고자 하는 $\cos\theta$는 양수입니다.
3단계: 삼각함수 공식에 대입하여 값 구하기
이제 $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 관계를 알았으니, 삼각함수의 가장 기본적이고 중요한 공식인 아래 식을 이용합시다.
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
이 식에 문제에서 주어진 $\sin\theta = 2\cos\theta$를 대입해 봅니다.
$$(2\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$$
괄호를 풀어서 정리해 볼까요?
$$4\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$$5\cos^2\theta = 1$$
$$\cos^2\theta = \frac{1}{5}$$
제곱해서 $\frac{1}{5}$이 되는 수는 $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}$이 있습니다. 그런데 우리는 2단계에서 **$\cos\theta > 0$**임을 이미 확인했죠?
따라서 양수 값만 선택합니다.
$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
분모를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
답
**⑤ $\frac{\sqrt{5}}{5}$**
확인해보기
공부를 마친 후 스스로 이해했는지 점검해 보세요.
> 질문: 만약 문제의 첫 번째 조건이 $\sin(\pi-\theta) > 0$ 대신 **$\cos(\pi-\theta) > 0$**으로 바뀌었다면, 최종 답인 $\cos\theta$의 부호는 양수가 될까요, 음수가 될까요? 그 이유를 각 변환 공식을 통해 설명해 보세요.