어떤 문제인가
이 문제는 주어진 정적분 등식을 만족하는 이차함수 $f(x) = x^2 + ax$의 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정적분의 성질 (성분의 분리): 합과 차로 이루어진 식의 정적분은 각각의 정적분의 합과 차로 나누어 계산할 수 있습니다.
- 우함수(짝함수)와 기함수(홀함수)의 정적분: 적분 구간이 $[-a, a]$와 같이 원점을 기준으로 대칭일 때, 홀수 차수 항(기함수)은 적분 값이 $0$이 되고, 짝수 차수 항(우함수)은 $[0, a]$ 구간의 적분 값의 $2$배가 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 복잡해 보이는 정적분 식 단순하게 만들기
좌변의 정적분 식을 먼저 전개해 봅시다. 피적분함수 $(x+1)f(x)$를 전개하면 $xf(x) + f(x)$가 됩니다.
$$\int_{-3}^{3} (x+1)f(x)dx = \int_{-3}^{3} \{xf(x) + f(x)\}dx$$
정적분의 성질에 의해 이 식을 두 개의 정적분으로 쪼갤 수 있습니다.
$$\int_{-3}^{3} xf(x)dx + \int_{-3}^{3} f(x)dx$$
이제 이 식을 원래 문제의 등식에 대입해 볼까요?
$$\int_{-3}^{3} xf(x)dx + \int_{-3}^{3} f(x)dx = 36 + \int_{-3}^{3} f(x)dx$$
양변을 잘 보면 똑같이 더해져 있는 $\int_{-3}^{3} f(x)dx$가 보입니다. 양변에서 이 공통 부분을 빼서 지워주면 식은 아주 간단해집니다!
$$\int_{-3}^{3} xf(x)dx = 36$$
2단계: $f(x)$를 대입하여 식 정리하기
이제 $f(x) = x^2 + ax$를 위 식에 대입해 봅시다. 피적분함수인 $xf(x)$는 다음과 같이 계산됩니다.
$$xf(x) = x(x^2 + ax) = x^3 + ax^2$$
이를 정적분 식에 다시 넣어줍니다.
$$\int_{-3}^{3} (x^3 + ax^2)dx = 36$$
3단계: 대칭 구간 $[-3, 3]$의 성질 이용하기 (우함수와 기함수)
적분 구간이 $-3$부터 $3$까지로, 원점에 대해 대칭입니다. 이럴 때는 홀수 차수 항과 짝수 차수 항의 성질을 이용하면 계산이 획기적으로 줄어듭니다.
- **$x^3$ (홀수 차수, 기함수)**: 원점 대칭이므로 $[-3, 3]$ 구간에서 정적분하면 좌우 넓이의 부호가 반대가 되어 **$0$**이 됩니다.
$$\int_{-3}^{3} x^3 dx = 0$$
- **$ax^2$ (짝수 차수, 우함수)**: $y$축 대칭이므로 $[-3, 3]$ 구간의 정적분은 $[0, 3]$ 구간의 정적분의 **$2$배**가 됩니다.
$$\int_{-3}^{3} ax^2 dx = 2\int_{0}^{3} ax^2 dx$$
따라서 우리가 풀던 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$2\int_{0}^{3} ax^2 dx = 36$$
양변을 $2$로 나누면 훨씬 간단해집니다.
$$\int_{0}^{3} ax^2 dx = 18$$
4단계: 정적분 계산하여 $a$ 구하기
이제 실제로 적분을 계산해 봅시다. $ax^2$을 부정적분하면 $\frac{a}{3}x^3$이 됩니다.
$$\left[ \frac{a}{3}x^3 \right]_{0}^{3} = 18$$
위끝 $3$과 아래끝 $0$을 대입합니다.
$$\left( \frac{a}{3} \cdot 3^3 \right) - 0 = 18$$
$$9a = 18$$
따라서 상수 $a$의 값은 다음과 같습니다.
$$a = 2$$
답
**② $2$**
확인해보기
오늘 배운 우함수와 기함수의 정적분 성질을 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
> 질문: 정적분 $\int_{-2}^{2} (5x^7 - 3x^3 + 3x^2)dx$를 계산할 때, 계산을 시작하기 전에 **값이 $0$이 되어 사라지는 항은 어떤 것들이며, 최종적으로 어떤 식만 남겨서 계산**하면 될까요? (직접 최종 답을 구하지 말고, 식을 어떻게 단순화할 수 있는지 설명해 보세요.)