어떤 문제인가
이 문제는 포물선 위의 한 점이 주어졌을 때, 그 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 다른 특정 점을 지날 때 미지수의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **포물선 $y^2 = 4px$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식**:
$$y_1 y = 2p(x + x_1)$$
- 직선이 점을 지난다는 의미: 직선의 방정식에 점의 좌표를 대입하면 등식이 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 기본형에서 $p$의 값 구하기
주어진 포물선의 방정식은 $y^2 = 12x$입니다. 포물선의 기본형인 $y^2 = 4px$와 비교해 봅시다.
$$4p = 12$$
양변을 $4$로 나누면, $p = 3$임을 알 수 있습니다.
2단계: 접점에서의 접선의 방정식 구하기
포물선 위의 점 $(3, 6)$이 바로 접점입니다. 즉, $x_1 = 3$, $y_1 = 6$입니다.
이제 접선의 방정식 공식 $y_1 y = 2p(x + x_1)$에 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$6y = 2 \times 3 \times (x + 3)$$
$$6y = 6(x + 3)$$
양변을 $6$으로 나누어 식을 간단히 정리하면 다음과 같습니다.
$$y = x + 3$$
이 식이 바로 포물선 위의 점 $(3, 6)$에서의 접선의 방정식입니다.
3단계: 접선이 점 $(1, a)$를 지날 때, $a$의 값 구하기
구한 접선 $y = x + 3$이 점 $(1, a)$를 지난다고 했으므로, 이 점의 좌표를 접선의 방정식에 대입합니다. $x$ 대신 $1$을, $y$ 대신 $a$를 대입해 볼까요?
$$a = 1 + 3$$
$$a = 4$$
따라서 우리가 구하고자 하는 $a$의 값은 $4$입니다.
답
④ $4$
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> 질문: 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 점 $(2, 4)$에서의 접선의 방정식은 무엇일까요? 그리고 이 접선은 점 $(0, 2)$를 지날까요? (직접 계산해 보세요!)