어떤 문제인가
이 문제는 기하 과목에서 배우는 '벡터를 이용한 직선의 방정식'을 활용하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 두 점을 연결한 벡터 구하기: 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 주어졌을 때, 점 $\mathrm{A}$에서 점 $\mathrm{B}$로 가는 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$의 성분을 구하는 방법
- 법선벡터와 직선의 방정식: 직선에 수직인 벡터(법선벡터)와 직선 위의 한 점이 주어졌을 때, 직선의 방정식을 세우는 공식
- **$y$절편의 정의**: 직선이 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표 (즉, $x=0$일 때의 $y$값)
단계별 풀이
1단계: 법선벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 구하기
직선의 방정식을 구하기 위해 먼저 기준이 되는 법선벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$를 구해야 합니다.
점 $\mathrm{A}(4, 0)$가 시점이고 점 $\mathrm{B}(2, -4)$가 종점이므로, 종점의 좌표에서 시점의 좌표를 빼서 벡터의 성분을 구합니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (2 - 4, -4 - 0) = (-2, -4)$$
따라서 우리가 구하고자 하는 직선의 법선벡터는 $\vec{n} = (-2, -4)$입니다.
2단계: 점 $\mathrm{A}$를 지나고 법선벡터가 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$인 직선의 방정식 세우기
좌표평면 위에서 점 $(x_0, y_0)$를 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b)$인 직선의 방정식은 다음과 같은 공식으로 나타냅니다.
$$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$
이 공식은 직선 위의 임의의 점을 $\mathrm{P}(x, y)$라 할 때, 직선 위의 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (x-x_0, y-y_0)$와 법선벡터 $\vec{n}$이 서로 수직이므로 두 벡터의 내적이 $0$이 된다는 성질($\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} = 0$)에서 나온 것입니다.
이제 공식에 점 $\mathrm{A}(4, 0)$와 법선벡터 $\vec{n} = (-2, -4)$를 대입해 봅시다.
$$-2(x - 4) - 4(y - 0) = 0$$
괄호를 풀어서 정리하면 다음과 같습니다.
$$-2x + 8 - 4y = 0$$
양변을 $-2$로 나누어 식을 더 간단하게 만들어 볼까요?
$$x + 2y - 4 = 0$$
3단계: 직선의 $y$절편 구하기
$y$절편은 직선이 $y$축과 만나는 점이므로, $x = 0$일 때의 $y$값을 구하면 됩니다.
위에서 구한 직선의 방정식 $x + 2y - 4 = 0$에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
$$0 + 2y - 4 = 0$$
$$2y = 4$$
$$y = 2$$
따라서 이 직선의 $y$절편은 $2$입니다.
답
**② $2$**
확인해보기
개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문] 점 $\mathrm{P}(1, 3)$을 지나고, 법선벡터가 $\vec{n} = (3, -1)$인 직선의 $x$절편은 무엇일까요? (힌트: $x$절편을 구할 때는 $y=0$을 대입합니다.)