어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선의 성질과 접선의 방정식을 결합한 기하 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음 3가지입니다.
- 쌍곡선의 점근선: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$입니다.
- 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식: 쌍곡선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1$입니다.
- 두 직선의 수직 조건: 두 직선의 기울기를 각각 $m_1, m_2$라고 할 때, 두 직선이 서로 수직이면 $m_1 \times m_2 = -1$입니다.
이 개념들을 하나씩 적용해가며 문제를 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: 점근선의 방정식을 이용해 $a$와 $b$의 관계식 구하기
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$입니다.
문제에서 한 점근선의 방정식이 $y = \frac{1}{2}x$라고 주어졌고, $a, b$는 양수이므로 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} \implies a = 2b$$
양변을 제곱하면 다음과 같습니다.
$$a^2 = 4b^2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
이 식을 원래 쌍곡선 방정식에 대입하여 식을 정리해 봅시다.
$$\frac{x^2}{4b^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
양변에 $4b^2$을 곱하면,
$$x^2 - 4y^2 = 4b^2 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
이 됩니다.
2단계: 직선 $y=1$과의 교점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 좌표 구하기
쌍곡선과 직선 $y=1$이 만나는 점을 구하기 위해, (식 2)에 $y=1$을 대입합니다.
$$x^2 - 4(1)^2 = 4b^2 \implies x^2 = 4b^2 + 4 = 4(b^2 + 1)$$
따라서 교점의 $x$좌표는 다음과 같습니다.
$$x = \pm 2\sqrt{b^2 + 1}$$
두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$의 좌표를 각각 다음과 같이 놓을 수 있습니다.
$$\mathrm{P}\left(2\sqrt{b^2+1}, 1\right), \quad \mathrm{Q}\left(-2\sqrt{b^2+1}, 1\right)$$
편의상 $x_1 = 2\sqrt{b^2+1}$이라 두면, 두 점은 $\mathrm{P}(x_1, 1)$, $\mathrm{Q}(-x_1, 1)$이 됩니다.
3단계: 두 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$에서의 접선의 기울기 구하기
쌍곡선 위의 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선의 방정식 공식인 $\frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1$을 사용합니다. 이때 $a^2 = 4b^2$임을 기억하세요.
- **점 $\mathrm{P}(x_1, 1)$에서의 접선의 방정식:**
$$\frac{x_1 x}{4b^2} - \frac{1 \cdot y}{b^2} = 1$$
이 식을 $y$에 대해 정리하여 기울기를 구해봅시다. 양변에 $b^2$을 곱하면,
$$\frac{x_1}{4}x - y = b^2 \implies y = \frac{x_1}{4}x - b^2$$
따라서 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기 $m_1$은 다음과 같습니다.
$$m_1 = \frac{x_1}{4}$$
- **점 $\mathrm{Q}(-x_1, 1)$에서의 접선의 방정식:**
같은 방법으로 구하면 점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 기울기 $m_2$는 다음과 같습니다.
$$m_2 = -\frac{x_1}{4}$$
4단계: 수직 조건을 이용하여 $a^2 + b^2$ 계산하기
두 접선이 서로 수직이라고 했으므로, 두 기울기의 곱은 $-1$이 되어야 합니다.
$$m_1 \times m_2 = -1$$
$$\left(\frac{x_1}{4}\right) \times \left(-\frac{x_1}{4}\right) = -1$$
$$-\frac{x_1^2}{16} = -1 \implies x_1^2 = 16$$
우리가 2단계에서 $x_1 = 2\sqrt{b^2+1}$로 두었으므로, $x_1^2 = 4(b^2 + 1)$입니다. 이를 대입하면,
$$4(b^2 + 1) = 16$$
$$b^2 + 1 = 4 \implies b^2 = 3$$
$b^2 = 3$이므로, (식 1)에 의해 $a^2$의 값도 구할 수 있습니다.
$$a^2 = 4b^2 = 4 \times 3 = 12$$
따라서 우리가 구하고자 하는 $a^2 + b^2$의 값은 다음과 같습니다.
$$a^2 + b^2 = 12 + 3 = 15$$
답
① 15
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 만약 이 문제에서 점근선의 방정식이 $y = \frac{1}{2}x$가 아니라 $y = x$로 주어졌다면, 양수 $a$와 $b$ 사이에는 어떤 관계식($a$와 $b$의 크기 관계)이 성립할까요?