어떤 문제인가
이 문제는 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$로 이루어진 삼각형 $\text{OAB}$의 넓이를 구하는 문제입니다. 벡터의 크기와 내적의 성질을 이용하여 필요한 값들을 찾아내는 것이 핵심입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 내적과 크기의 관계: 벡터의 크기를 제곱하면 자기 자신과의 내적이 됩니다. 즉, $|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$ 입니다.
- 벡터의 합과 차의 내적: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$ 임을 이용합니다.
- 벡터를 이용한 삼각형의 넓이 공식: 두 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$가 이루는 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$$
단계별 풀이
1단계: 세 번째 조건식 정리하기
가장 간단해 보이는 세 번째 조건부터 시작해 봅시다.
$$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$$
이 식을 전개하면 다음과 같습니다.
$$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$$
$$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$$
길이는 음수가 될 수 없으므로, 두 벡터의 크기가 같다는 것을 알 수 있습니다.
$$|\vec{a}| = |\vec{b}|$$
계산을 편하게 하기 위해 이 크기를 $k$ ($k > 0$)라고 두겠습니다. 즉, $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = k^2$ 입니다.
2단계: 첫 번째 조건식 양변 제곱하기
첫 번째 조건인 $|\vec{a} + \vec{b}| = 6$의 양변을 제곱하여 내적 식을 만들어 봅시다.
$$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 36$$
$$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 36$$
여기에 1단계에서 구한 $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = k^2$을 대입합니다.
$$k^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + k^2 = 36$$
$$2k^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36 \implies k^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} = 18$$
이 식을 정리하여 내적 $\vec{a} \cdot \vec{b}$에 대한 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 18 - k^2 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
3단계: 두 번째 조건식 양변 제곱하기
두 번째 조건인 $|2\vec{a} - \vec{b}| = 9$의 양변도 마찬가지로 제곱해 줍니다.
$$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 81$$
$$4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 81$$
여기에 다시 $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = k^2$을 대입합니다.
$$4k^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + k^2 = 81$$
$$5k^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 81 \quad \cdots \text{(식 2)}$$
4단계: 연립하여 $k^2$과 내적 값 구하기
이제 (식 1)을 (식 2)에 대입하여 $k^2$의 값을 구해봅시다.
$$5k^2 - 4(18 - k^2) = 81$$
$$5k^2 - 72 + 4k^2 = 81$$
$$9k^2 = 153$$
$$k^2 = 17$$
따라서 두 벡터의 크기의 제곱은 다음과 같습니다.
$$|\vec{a}|^2 = 17, \quad |\vec{b}|^2 = 17$$
이 값을 (식 1)에 대입하여 내적 값을 구합니다.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 18 - 17 = 1$$
5단계: 삼각형의 넓이 구하기
이제 삼각형의 넓이 공식에 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$$
$$S = \frac{1}{2} \sqrt{17 \times 17 - 1^2}$$
$$S = \frac{1}{2} \sqrt{289 - 1} = \frac{1}{2} \sqrt{288}$$
$\sqrt{288}$을 소인수분해하면 $288 = 144 \times 2 = 12^2 \times 2$ 이므로, $\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$ 입니다.
$$S = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$
답
정답은 **③ $6\sqrt{2}$** 입니다.
확인해보기
만약 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$가 서로 수직이라면 (즉, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$), 삼각형 $\text{OAB}$의 넓이 공식은 어떻게 간단해질까요? 그리고 이것은 우리가 중학교 때 배운 어떤 삼각형의 넓이 공식과 같을지 생각해 보세요.