어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 타원 $C_1$과 $C_2$의 성질을 이용하여 선분의 길이의 합을 구하는 기하 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 타원의 정의: 타원 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 항상 일정하며, 이 합은 타원의 장축의 길이와 같습니다.
- 선분의 중점: 조건 $\overline{\text{GP}} = \overline{\text{PF}}$와 점 $\text{P}$가 선분 $\text{GF}$ 위에 있다는 사실을 통해 점 $\text{P}$가 선분 $\text{GF}$의 중점임을 파악합니다.
- 타원의 방정식과 초점의 관계: 타원의 방정식에서 장반경, 단반경, 그리고 초점 사이의 관계식($c^2 = a^2 - b^2$ 꼴)을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 타원 $C_1$의 정의를 이용하여 $a$와 초점 $F$의 좌표 구하기
타원 $C_1$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$C_1 : \frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$$
이 타원의 두 초점은 $\text{F}(c, 0)$, $\text{F}'(-c, 0)$이므로, 타원의 정의에 의해 타원 $C_1$ 위의 임의의 점 $\text{X}$에 대해 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이인 $2a$로 일정합니다. 점 $\text{P}$는 타원 $C_1$ 위의 점이므로 다음이 성립합니다.
$$\overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF}'} = 2a$$
문제에서 주어진 조건 중 $\overline{\text{GP}} = \overline{\text{PF}}$를 $\overline{\text{GP}} + \overline{\text{PF}'} = 2\sqrt{2}$에 대입해 봅시다.
$$\overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF}'} = 2\sqrt{2}$$
따라서 우리는 다음을 알 수 있습니다.
$$2a = 2\sqrt{2} \quad \implies \quad a = \sqrt{2}$$
이제 $a^2 = 2$임을 알았습니다. 타원 $C_1$에서 초점 $c$의 값은 $c^2 = a^2 - b^2$ (여기서 $b^2 = 1$) 관계를 가지므로,
$$c^2 = 2 - 1 = 1$$
$c > 0$이므로 $c = 1$입니다. 즉, 초점의 좌표는 $\text{F}(1, 0)$, $\text{F}'(-1, 0)$입니다.
2단계: 점 $\text{P}$의 좌표와 $d^2$의 값 구하기
점 $\text{P}$는 제1사분면에서 직선 $\text{FG}$와 타원 $C_1$이 만나는 점입니다.
이때 $\text{G}(0, d)$는 $y$축 위의 점이고, $\text{F}(1, 0)$은 $x$축 위의 점입니다. 직선 $\text{FG}$ 위의 점 $\text{P}$에 대해 $\overline{\text{GP}} = \overline{\text{PF}}$이므로, 점 $\text{P}$는 선분 $\text{GF}$의 중점이 됩니다.
중점 공식에 의해 점 $\text{P}$의 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
$$\text{P} = \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{d + 0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{d}{2} \right)$$
점 $\text{P}$는 타원 $C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 위의 점이므로, 이 좌표를 타원의 방정식에 대입할 수 있습니다.
$$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2} + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 1$$
이를 계산해 봅시다.
$$\frac{1}{8} + \frac{d^2}{4} = 1$$
$$\frac{d^2}{4} = \frac{7}{8}$$
$$d^2 = \frac{7}{2}$$
3단계: 타원 $C_2$의 성질을 이용하여 $\overline{\text{QG}} + \overline{\text{QG}'}$ 구하기
타원 $C_2$는 두 점 $\text{G}(0, d)$, $\text{G}'(0, -d)$를 초점으로 하므로, 초점이 $y$축 위에 있는 세로로 긴 타원입니다.
또한, 타원 $C_2$는 타원 $C_1$의 두 꼭짓점 $(\pm a, 0) = (\pm \sqrt{2}, 0)$을 지납니다.
타원 $C_2$의 방정식을 다음과 같이 놓을 수 있습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1 \quad (B > a)$$
이 타원의 초점이 $y$축 위에 있으므로, 초점 $d$와 $a, B$ 사이에는 다음 관계가 성립합니다.
$$d^2 = B^2 - a^2 \quad \implies \quad B^2 = a^2 + d^2$$
우리가 구한 $a^2 = 2$와 $d^2 = \frac{7}{2}$을 대입해 봅시다.
$$B^2 = 2 + \frac{7}{2} = \frac{11}{2}$$
$$B = \sqrt{\frac{11}{2}}$$
점 $\text{Q}$는 타원 $C_2$ 위의 점이므로, 타원의 정의에 의해 두 초점 $\text{G}, \text{G}'$까지의 거리의 합은 장축의 길이인 $2B$와 같습니다.
$$\overline{\text{QG}} + \overline{\text{QG}'} = 2B$$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{QG}} + \overline{\text{QG}'} = 2 \sqrt{\frac{11}{2}} = \sqrt{4 \times \frac{11}{2}} = \sqrt{22}$$
답
정답은 ④ $\sqrt{22}$ 입니다.
확인해보기
타원의 정의를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> 질문: 만약 어떤 타원의 방정식이 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$로 주어졌다면, 이 타원 위의 임의의 점 $\text{P}$에서 두 초점까지의 거리의 합은 얼마가 될까요? (힌트: 초점이 어느 축 위에 있는지 먼저 파악해 보세요!)