어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선의 성질과 도형의 기하학적 성질(중점연결정리, 평행선 사이의 거리)을 결합하여 쌍곡선의 주축의 길이를 구하는 문제입니다.
우리가 이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2a$)로 일정합니다. ($|F'P - FP| = 2a$)
- 삼각형의 중점연결정리: 삼각형에서 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 절반입니다.
- 평행선 사이의 거리와 삼각형의 넓이: 밑변이 평행선 위에 있고 높이가 일정한 삼각형의 넓이 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $P$와 $Q$의 좌표 구하기 (중점연결정리 활용)
먼저 문제에서 주어진 조건들을 좌표평면 위에 나타내어 봅시다.
- 두 초점은 $F(c, 0)$, $F'(-c, 0)$입니다. 원점 $O(0,0)$는 선분 $F'F$의 중점입니다.
- 점 $Q$는 선분 $F'P$가 $y$축과 만나는 점이며, 문제에서 $\overline{F'Q} = \overline{QP}$라고 했으므로 $Q$는 선분 $F'P$의 중점입니다.
삼각형 $F'PF$를 가만히 살펴볼까요?
- $O$는 밑변 $F'F$의 중점입니다.
- $Q$는 변 $F'P$의 중점입니다.
따라서 삼각형의 중점연결정리에 의해, 선분 $OQ$는 선분 $FP$와 평행하고 그 길이는 절반이 됩니다.
$$\overline{FP} = 2\overline{OQ}$$
문제에서 $\overline{OQ} = 2$라고 주어졌으므로,
$$\overline{FP} = 2 \times 2 = 4$$
입니다.
또한, $OQ$가 $y$축 위에 있으므로 $FP$는 $y$축과 평행합니다. 즉, 점 $P$의 $x$좌표는 초점 $F$의 $x$좌표인 $c$와 같습니다.
따라서 점 $P$의 좌표는 $P(c, 4)$가 되고, $Q$는 $y$축 위의 점이므로 $Q(0, 2)$가 됩니다.
2단계: 쌍곡선의 정의를 이용하여 $a$와 $c$의 관계식 세우기
쌍곡선의 방정식을 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0, b>0$)이라 하면, 주축의 길이는 $2a$이고 $c^2 = a^2 + b^2$이 성립합니다.
쌍곡선의 정의에 의해, 점 $P$에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이 $2a$와 같습니다.
$$\overline{F'P} - \overline{FP} = 2a$$
우리는 이미 $\overline{FP} = 4$임을 알고 있습니다. 이제 $\overline{F'P}$의 길이를 구해봅시다.
직각삼각형 $F'OQ$에서 피타고라스 정리를 쓰면,
$$\overline{F'Q} = \sqrt{\overline{F'O}^2 + \overline{OQ}^2} = \sqrt{c^2 + 2^2} = \sqrt{c^2 + 4}$$
$Q$가 $F'P$의 중점이므로,
$$\overline{F'P} = 2\overline{F'Q} = 2\sqrt{c^2 + 4}$$
이를 쌍곡선 정의 식에 대입합니다.
$$2\sqrt{c^2 + 4} - 4 = 2a$$
양변을 2로 나누면,
$$\sqrt{c^2 + 4} - 2 = a \implies \sqrt{c^2 + 4} = a + 2$$
양변을 제곱하여 정리해 봅시다.
$$c^2 + 4 = a^2 + 4a + 4$$
$$c^2 = a^2 + 4a \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: 삼각형 $PQR$의 넓이를 이용하여 $c$값 구하기
이제 삼각형 $PQR$의 넓이가 $3$이라는 조건을 써먹을 차례입니다.
- 직선 $F'P$의 방정식을 구해봅시다. 이 직선은 $F'(-c, 0)$와 $P(c, 4)$를 지나므로 기울기는 다음과 같습니다.
$$\text{기울기} = \frac{4 - 0}{c - (-c)} = \frac{4}{2c} = \frac{2}{c}$$
따라서 직선 $F'P$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y = \frac{2}{c}(x + c) \implies 2x - cy + 2c = 0$$
- 직선 $OR$은 원점을 지나고 직선 $F'P$와 평행하므로, 방정식은 다음과 같습니다.
$$2x - cy = 0$$
삼각형 $PQR$에서 밑변을 선분 $PQ$로 잡으면, 점 $R$은 직선 $OR$ 위의 점입니다.
두 직선 $F'P$와 $OR$이 평행하므로, 점 $R$에서 직선 $F'P$에 내린 수선의 발의 길이(즉, 삼각형의 높이 $h$)는 두 평행선 사이의 거리와 같습니다!
평행한 두 직선 $2x - cy + 2c = 0$과 $2x - cy = 0$ 사이의 거리 $h$는 다음과 같이 구합니다.
$$h = \frac{|2c|}{\sqrt{2^2 + (-c)^2}} = \frac{2c}{\sqrt{c^2 + 4}}$$
밑변인 선분 $PQ$의 길이는 $\overline{F'P}$의 절반이므로,
$$\overline{PQ} = \sqrt{c^2 + 4}$$
이제 삼각형 $PQR$의 넓이를 구하는 식을 세워봅시다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{PQ} \times h$$
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \sqrt{c^2 + 4} \times \frac{2c}{\sqrt{c^2 + 4}} = c$$
문제에서 이 넓이가 $3$이라고 주어졌으므로, 놀랍게도 아주 간단하게 **$c = 3$** 임을 알 수 있습니다!
4단계: 주축의 길이 구하고 최종 답 도출하기
$c = 3$을 앞서 구한 $\text{(식 1)}$에 대입합니다.
$$3^2 = a^2 + 4a \implies a^2 + 4a - 9 = 0$$
근의 공식을 이용하여 양수 $a$의 값을 구합니다.
$$a = \frac{-4 + \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times (-9)}}{2} = \frac{-4 + \sqrt{52}}{2} = \frac{-4 + 2\sqrt{13}}{2} = -2 + \sqrt{13}$$
우리가 구하고자 하는 쌍곡선의 주축의 길이는 $2a$이므로,
$$\text{주축의 길이} = 2a = -4 + 2\sqrt{13}$$
이 길이가 $p + q\sqrt{13}$이므로, 유리수 $p, q$는 각각 다음과 같습니다.
$$p = -4, \quad q = 2$$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p^2 + q^2 = (-4)^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$
답
$$20$$
확인해보기
삼각형 $F'PF$에서 선분 $OQ$가 선분 $FP$와 평행하고 그 길이가 절반($\overline{FP} = 2\overline{OQ}$)이 되는 이유를 삼각형의 닮음을 이용하여 스스로 설명해 보세요.