어떤 문제인가
직사각형에서 점 $P$가 선분 $BC$ 위를 움직이고 점 $Q$가 벡터 조건을 만족할 때, 내적 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AQ}$의 최솟값을 구하는 문제예요. 핵심 아이디어는 이것이에요. 조건 $\overrightarrow{PQ}\cdot(\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{AB})=0$은 $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{P'Q}=0$ (단, $\overrightarrow{PP'}=\overrightarrow{AB}$) 꼴이므로, 점 $Q$는 $P$와 $P+\overrightarrow{AB}$를 지름의 양 끝으로 하는 원 위를 움직여요. 좌표를 잡아 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AQ}$를 $P$의 위치 $t$와 원 위의 각 $\theta$의 함수로 나타내면 최솟값이 바로 구해져요. 사용할 개념은 벡터의 내적, 원의 자취(지름에 대한 원주각), 삼각함수의 합성이에요.
단계별 풀이
- 좌표를 설정해요. 그림에 따라 $A$는 왼쪽 위, $B$는 왼쪽 아래, $C$는 오른쪽 아래, $D$는 오른쪽 위이므로
$$B(0,0),\quad C(8,0),\quad A(0,6),\quad D(8,6)$$
으로 놓아요. ($\overline{AB}=6$, $\overline{AD}=\overline{BC}=8$)
- 점 $E$를 결정해요. $2\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$에서 $\overrightarrow{BC}=(8,0)$, $\overrightarrow{BA}=(0,6)$이므로
$$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\big(3(8,0)-(0,6)\big)=(12,-3),\qquad E(12,-3).$$
따라서 $\overrightarrow{AE}=E-A=(12,-9)$예요.
- 점 $Q$의 자취를 찾아요. $P$는 선분 $BC$ 위의 점이므로 $P(t,0)$, $0\le t\le 8$이에요. 조건
$$\overrightarrow{PQ}\cdot(\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{AB})=0$$
에서 $Q=(u,v)$와 $\overrightarrow{AB}=(0,-6)$을 대입하면
$$(u-t)^2+v(v+6)=0\iff(u-t)^2+(v+3)^2=9$$
가 돼요. 따라서 $Q$는 중심 $(t,-3)$, 반지름 $3$인 원
위의 점이에요: $Q=(t+3\cos\theta,\; -3+3\sin\theta)$.
- 내적을 계산하고 최소화해요.
$$\overrightarrow{AQ}=Q-A=(t+3\cos\theta,\; -9+3\sin\theta)$$
$$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AQ}=12(t+3\cos\theta)+(-9)(-9+3\sin\theta)=12t+36\cos\theta-27\sin\theta+81.$$
각 항이 독립이므로 항별로 최솟값을 구할 수 있어요.
- $12t$의 최솟값: $t=0$일 때 $0$
- $36\cos\theta-27\sin\theta$의 최솟값: $-\sqrt{36^2+27^2}=-\sqrt{1296+729}=-\sqrt{2025}=-45$
따라서 최솟값은
$$0-45+81=36.$$
- 최솟값이 실제로 달성되는지 확인해요. 이때 $t=0$ (즉 $P=B$), $\cos\theta=-\tfrac{4}{5}$, $\sin\theta=\tfrac{3}{5}$이고 $Q=\left(-\tfrac{12}{5},\,-\tfrac{6}{5}\right)$로 실제로 달성 가능해요(원 위의 임의의 점이 허용되므로 제약이 없어요).
검산
달성점을 직접 대입해 확인해 볼 수 있어요. $Q=\left(-\tfrac{12}{5},-\tfrac{6}{5}\right)$일 때 $\overrightarrow{AQ}=\left(-\tfrac{12}{5},\,-\tfrac{6}{5}-6\right)=\left(-\tfrac{12}{5},-\tfrac{36}{5}\right)$이고 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AQ}=12\cdot\left(-\tfrac{12}{5}\right)+(-9)\cdot\left(-\tfrac{36}{5}\right)=-\tfrac{144}{5}+\tfrac{324}{5}=\tfrac{180}{5}=36$으로 일치해요.
답
$$\boxed{36}$$
확인해보기
점 $Q$가 $\overline{PP'}$을 지름으로 하는 원 위에 있다는 사실은 원의 어떤 성질에서 나오는지, 조건식 $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{P'Q}=0$과 연결해서 스스로 설명해 볼까요?