어떤 문제인가
이 문제는 주어진 6개의 문자 중에서 똑같은 문자($a$)가 여러 개 포함되어 있을 때, 이들을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **순열 ($n!$):** 서로 다른 대상을 순서를 고려하여 일렬로 나열하는 방법의 수입니다.
- 같은 것이 있는 순열: 나열하려는 대상 중에 모양이 똑같은 것이 섞여 있을 때, 중복되는 경우의 수를 나누어 해결하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 문자가 서로 다르다고 가정해 보기
만약 문제에 주어진 문자가 $a, a, a, a, b, c$가 아니라, 모두 서로 다른 문자 $a_1, a_2, a_3, a_4, b, c$라고 가정해 봅시다.
서로 다른 6개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $6!$ (6 팩토리얼)로 계산할 수 있습니다.
$$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$
2단계: 똑같은 문자 때문에 생기는 중복 생각하기
하지만 실제 문제에서는 $a$가 4개로 모두 똑같습니다.
예를 들어, $a_1, a_2, a_3, a_4$의 자리를 자기들끼리 아무리 바꾸어도 실제로는 모두 똑같은 문자 $a$이기 때문에 우리 눈에는 단 한 가지의 경우로 보입니다.
서로 다른 4개의 문자를 나열하는 방법의 수는 $4!$입니다.
$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
즉, 실제로는 1가지로 보여야 할 배열이, 1단계 계산에서는 $4!$ (24가지)만큼 중복되어 과장되게 계산된 것입니다.
3단계: 중복을 나누어 진짜 경우의 수 구하기
따라서 전체 경우의 수 $6!$에서 중복되는 만큼인 $4!$로 나누어 주어야 정확한 경우의 수를 얻을 수 있습니다.
식으로 나타내면 다음과 같습니다:
$$\frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$
분모와 분자에서 공통된 부분인 $4 \times 3 \times 2 \times 1$을 약분하면 아주 간단해집니다.
$$\frac{6!}{4!} = 6 \times 5 = 30$$
따라서 나열하는 경우의 수는 총 $30$가지가 됩니다.
답
**③ $30$**
확인해보기
오늘 배운 '같은 것이 있는 순열' 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문] 5개의 문자 $x, x, x, y, z$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지일까요? (위에서 배운 공식과 단계를 차근차근 적용해 보세요!)