어떤 문제인가
이 문제는 주어진 확률 조건들을 이용해서 사건 $B$가 일어날 확률인 $\mathrm{P}(B)$를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 여사건의 확률: 사건 $A$가 일어나지 않을 확률 $\mathrm{P}(A^C)$는 전체 확률 $1$에서 사건 $A$가 일어날 확률을 뺀 것과 같습니다. 즉, $\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$ 입니다.
- 배반사건: 두 사건 $A$와 $B$가 동시에 일어날 수 없을 때(교집합이 공집합일 때) 두 사건을 '서로 배반사건'이라고 합니다. 이때 두 사건 중 하나가 일어날 확률은 각각의 확률을 더한 것과 같습니다. 즉, $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 여사건의 성질을 이용하여 $\mathrm{P}(A)$ 구하기
문제에서 $\mathrm{P}(A^C) = 2\mathrm{P}(A)$라는 관계식을 주었습니다.
우리는 여사건의 성질에 의해 $\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$라는 것을 알고 있습니다.
이 두 식을 연결해 볼까요?
$$1 - \mathrm{P}(A) = 2\mathrm{P}(A)$$
이제 $\mathrm{P}(A)$를 구하기 위해 일차방정식을 풀듯이 이항해 봅시다. $-\mathrm{P}(A)$를 우변으로 이항하면,
$$1 = 3\mathrm{P}(A)$$
양변을 $3$으로 나누면 사건 $A$가 일어날 확률을 구할 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3}$$
2단계: 배반사건의 성질을 이용하여 $\mathrm{P}(B)$ 구하기
문제에서 두 사건 $A$와 $B$는 서로 배반사건이라고 했습니다.
배반사건일 때는 합집합의 확률을 다음과 같이 단순한 덧셈으로 나타낼 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$$
문제에서 $\mathrm{P}(A \cup B) = 1$이라고 주어졌고, 1단계에서 우리는 $\mathrm{P}(A) = \frac{1}{3}$임을 구했습니다. 이 값들을 공식에 대입해 봅시다.
$$1 = \frac{1}{3} + \mathrm{P}(B)$$
우리가 구하고자 하는 $\mathrm{P}(B)$에 대해 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$
답
정답은 **④ $\frac{2}{3}$** 입니다.
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 보는 시간입니다. 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 두 사건 $X$와 $Y$가 서로 배반사건이고, $\mathrm{P}(X) = \frac{1}{4}$, $\mathrm{P}(Y) = \frac{1}{2}$일 때, 두 사건 중 적어도 하나가 일어날 확률인 $\mathrm{P}(X \cup Y)$는 얼마일까요?