어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항식의 전개식에서 특정 차수($x^3$)의 계수를 찾는 문제입니다. 복잡해 보이는 식을 효율적으로 풀기 위해 다음 두 가지 핵심 개념을 사용합니다.
- 분배법칙: 곱해진 두 식을 나누어 생각하여 필요한 부분만 골라내는 힘을 기릅니다.
- 이항정리 (Binomial Theorem): $(a+b)^n$ 꼴의 다항식을 전개할 때, 일반항을 이용하여 원하는 차수의 항을 빠르게 구하는 공식입니다.
단계별 풀이
1단계: 식을 나누어 분석하기
구해야 하는 식은 $(2x-1)^5(x+1)$ 입니다. 이 식을 뒤에 있는 $(x+1)$을 기준으로 분배법칙을 써서 두 부분으로 나누어 볼게요.
$$ (2x-1)^5(x+1) = x \cdot (2x-1)^5 + 1 \cdot (2x-1)^5 $$
우리가 찾고 싶은 것은 전체 식에서의 **$x^3$의 계수**입니다. 그렇다면 위 두 부분에서 각각 어떤 항이 나와야 곱해져서 $x^3$이 될지 생각해 봅시다.
- **첫 번째 부분 $x \cdot (2x-1)^5$** : 앞에 이미 $x$가 곱해져 있으므로, 뒤의 $(2x-1)^5$에서는 **$x^2$ 항**이 나와야 곱해져서 $x^3$이 됩니다.
- **두 번째 부분 $1 \cdot (2x-1)^5$** : 앞에 $1$이 곱해져 있으므로, 뒤의 $(2x-1)^5$에서 그대로 **$x^3$ 항**이 나와야 합니다.
즉, 우리는 $(2x-1)^5$의 전개식에서 **$x^2$의 계수와 $x^3$의 계수**만 찾아내면 됩니다!
2단계: 이항정리를 이용해 $(2x-1)^5$의 일반항 구하기
이항정리에 의해 $(2x-1)^5$의 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (여기서 $a = 2x$, $b = -1$로 생각합니다.)
$$ T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-1)^r $$
이 식을 숫자 부분과 $x$가 있는 부분으로 정리해 볼까요?
$$ T_{r+1} = \binom{5}{r} 2^{5-r} (-1)^r \cdot x^{5-r} $$
여기서 $x$의 지수인 $5-r$을 통해 우리가 원하는 차수의 항을 찾을 수 있습니다.
3단계: 필요한 항의 계수 계산하기
**[경우 A] $x \cdot (2x-1)^5$에서 $x^3$ 항 만들기 (즉, $(2x-1)^5$의 $x^2$ 항 구하기)**
$x$의 지수가 $2$가 되어야 하므로, $5-r = 2 \implies r = 3$을 대입합니다.
$$ \binom{5}{3} 2^{5-3} (-1)^3 \cdot x^2 = 10 \cdot 2^2 \cdot (-1) \cdot x^2 = -40x^2 $$
여기에 앞에 있던 $x$를 곱해주면, 첫 번째 부분에서 나오는 $x^3$ 항은 **$-40x^3$**이 됩니다.
**[경우 B] $1 \cdot (2x-1)^5$에서 $x^3$ 항 만들기 (즉, $(2x-1)^5$의 $x^3$ 항 구하기)**
$x$의 지수가 $3$이 되어야 하므로, $5-r = 3 \implies r = 2$를 대입합니다.
$$ \binom{5}{2} 2^{5-2} (-1)^2 \cdot x^3 = 10 \cdot 2^3 \cdot 1 \cdot x^3 = 80x^3 $$
여기에 앞에 있던 $1$을 곱해주면, 두 번째 부분에서 나오는 $x^3$ 항은 **$80x^3$**이 됩니다.
4단계: 동류항끼리 더하기
두 경우에서 나온 $x^3$ 항을 더해줍니다.
$$ -40x^3 + 80x^3 = 40x^3 $$
따라서 $x^3$의 계수는 $40$입니다.
답
③ 40
확인해보기
만약 문제의 식이 $(2x-1)^5(x+1)$이 아니라, 뒤의 항이 바뀌어 **$(2x-1)^5(x^2+1)$** 이었다면, 이 전개식에서 $x^3$의 계수를 구하기 위해 $(2x-1)^5$에서 각각 몇 차항들을 찾아내야 할까요? (직접 계산하지 말고, 어떤 차수의 항이 필요한지만 생각해보세요!)