어떤 문제인가
이 문제는 1부터 7까지의 숫자가 적힌 7장의 카드를 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 두 카드의 곱이 짝수가 될 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 쉽고 빠르게 풀기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 홀수와 짝수의 곱의 성질: 두 수의 곱이 홀수가 되는 경우와 짝수가 되는 조건 이해하기
- 여사건의 확률: '적어도 ~일 확률'이나 조건이 복잡할 때, 반대 사건의 확률을 구해서 $1$에서 빼기
- **순열($P$)**: 서로 다른 카드 중 몇 개를 뽑아 순서를 고려하여 나열하는 경우의 수
단계별 풀이
1단계: 카드 분류하고 '여사건' 아이디어 떠올리기
먼저 1부터 7까지의 카드를 홀수와 짝수로 분류해 봅시다.
- 홀수 카드 (4장): $1, 3, 5, 7$
- 짝수 카드 (3장): $2, 4, 6$
문제에서는 양 끝에 놓인 두 수의 곱이 짝수가 되기를 원합니다. 두 수를 곱해서 짝수가 되는 경우는 다음과 같이 다양해요.
- (왼쪽 끝, 오른쪽 끝)이 (짝수, 짝수), (짝수, 홀수), (홀수, 짝수)인 경우
경우의 수가 많아서 일일이 구하기 번거롭죠? 이럴 때는 반대 상황인 여사건을 생각하는 것이 훨씬 쉽습니다.
두 수의 곱이 홀수가 되는 경우는 오직 하나뿐입니다.
- (왼쪽 끝, 오른쪽 끝)이 모두 (홀수, 홀수)인 경우
따라서 우리는 "양 끝에 모두 홀수가 올 확률"을 구한 뒤, 전체 확률 $1$에서 이 값을 빼서 답을 구할 것입니다.
$$(\text{양 끝의 곱이 짝수일 확률}) = 1 - (\text{양 끝에 모두 홀수가 놓일 확률})$$
2단계: 양 끝에 카드를 놓는 전체 경우의 수 구하기
확률을 구하기 위해 먼저 분모에 들어갈 '전체 경우의 수'를 구해봅시다. 7장의 카드 중 양 끝(자리 2개)에 카드를 임의로 놓는 경우의 수만 생각하면 됩니다. (가운데 5장의 카드는 어떻게 배열되든 양 끝의 곱에 영향을 주지 않으므로 고려하지 않아도 괜찮습니다.)
7장의 카드 중에서 2장을 선택해 양 끝에 순서대로 나열하는 경우의 수는 순열 $_7P_2$로 계산할 수 있습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = _7P_2 = 7 \times 6 = 42$$
3단계: 양 끝에 모두 홀수 카드가 놓이는 경우의 수 구하기
이번에는 분자에 들어갈 '여사건의 경우의 수'를 구합니다. 즉, 양 끝에 모두 홀수 카드가 놓여야 합니다.
우리가 가진 홀수 카드는 총 4장($1, 3, 5, 7$)입니다. 이 4장의 홀수 카드 중에서 2장을 선택해 양 끝에 순서대로 나열하는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{양 끝에 홀수가 놓이는 경우의 수} = _4P_2 = 4 \times 3 = 12$$
4단계: 여사건의 확률을 이용하여 최종 확률 계산하기
이제 준비가 다 되었습니다!
양 끝에 모두 홀수 카드가 놓여 곱이 홀수가 될 확률은 다음과 같습니다.
$$\text{양 끝의 곱이 홀수일 확률} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$$
우리가 구하고자 하는 것은 곱이 짝수가 될 확률이므로, 전체 확률 $1$에서 위에서 구한 확률을 빼줍니다.
$$\text{양 끝의 곱이 짝수일 확률} = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$$
답
**⑤ $\frac{5}{7}$**
확인해보기
오늘 배운 '여사건의 확률'을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> [질문]
> 만약 카드가 $1, 2, 3, 4, 5$로 총 5장만 있다고 해봅시다. 이 5장의 카드를 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 두 수의 곱이 짝수가 될 확률은 얼마일까요? 위에서 배운 단계대로 차근차근 계산해 보세요!