어떤 문제인가
이 문제는 여러 명의 학생 중 조건에 맞게 일부를 선택(조합)한 뒤, 이들을 원 모양의 탁자에 나열(원순열)하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **조합 ($_{n}\mathrm{C}_{r}$):** 서로 다른 $n$명 중에서 순서를 생각하지 않고 $r$명을 택하는 방법입니다.
- 원순열: 서로 다른 $n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수로, 회전했을 때 같은 모양이 나오므로 $$(n-1)!$$로 계산합니다.
- 합의 법칙: 동시에 일어날 수 없는 사건들을 분류하여 각각의 경우의 수를 더하는 법칙입니다.
단계별 풀이
1단계: 조건에 맞게 학생을 선택하는 경우 나누기
문제에서 "4명 이상의 남학생을 포함하여 5명의 학생을 선택"하라고 했습니다. 남학생은 총 5명, 여학생은 총 3명이 있으므로, 5명을 뽑는 상황은 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
- 경우 1: 남학생 4명과 여학생 1명을 선택하는 경우
- 경우 2: 남학생 5명만 선택하는 경우 (여학생 0명)
이제 각 경우별로 학생을 선택하고 원탁에 앉히는 경우의 수를 각각 구해봅시다.
2단계: [경우 1] 남학생 4명, 여학생 1명을 선택하여 원탁에 앉히기
먼저 학생들을 선택한 후, 선택된 학생들을 원탁에 배열하는 순서로 계산합니다.
- 학생 선택하기:
* 5명의 남학생 중 4명을 선택하는 경우의 수:
$$_{5}\mathrm{C}_{4} = 5$$
* 3명의 여학생 중 1명을 선택하는 경우의 수:
$$_{3}\mathrm{C}_{1} = 3$$
* 따라서 5명을 선택하는 경우의 수는 두 값을 곱한 것과 같습니다:
$$5 \times 3 = 15$$
- 원탁에 앉히기:
* 선택된 5명의 학생을 원형 탁자에 일정한 간격으로 앉히는 원순열의 수는 다음과 같습니다:
$$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$
- 경우 1의 총 경우의 수:
* 선택하는 방법과 앉히는 방법을 곱합니다:
$$15 \times 24 = 360$$
3단계: [경우 2] 남학생 5명을 선택하여 원탁에 앉히기
이번에도 마찬가지로 선택 후 배열합니다.
- 학생 선택하기:
* 5명의 남학생 중 5명을 모두 선택하는 경우의 수:
$$_{5}\mathrm{C}_{5} = 1$$
* 여학생은 선택하지 않으므로 경우의 수는 $1$입니다.
- 원탁에 앉히기:
* 선택된 5명의 남학생을 원형 탁자에 앉히는 원순열의 수는 동일하게 다음과 같습니다:
$$(5-1)! = 4! = 24$$
- 경우 2의 총 경우의 수:
* 선택하는 방법과 앉히는 방법을 곱합니다:
$$1 \times 24 = 24$$
4단계: 전체 경우의 수 구하기 (합의 법칙)
[경우 1]과 [경우 2]는 동시에 일어날 수 없는 사건이므로, 두 경우의 수를 더해줍니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 360 + 24 = 384$$
답
① 384
확인해보기
위 문제를 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 만약 문제의 조건이 "남학생 3명, 여학생 2명을 선택하여 원탁에 앉히는 경우의 수"로 바뀐다면, 식을 어떻게 세워야 할까요? 직접 계산해 보세요. (답은 구하지 않고 식만 세워봐도 좋습니다.)