어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 던지는 독립적인 시행을 반복할 때, 특정 조건이 주어졌을 때 다른 사건이 일어날 확률을 구하는 조건부확률 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 독립시행의 확률: 매회 일어나는 사건이 서로 독립일 때, 특정 사건이 몇 번 일어날지 확률을 구하는 방법입니다.
- 조건부확률: 어떤 사건이 일어났다는 전제 하에, 다른 사건이 일어날 확률을 구하는 개념입니다.
- 변수 설정과 식 세우기: 복잡한 규칙을 수학적 기호(변수)를 사용해 단순한 식으로 나타내는 능력입니다.
단계별 풀이
1단계: 주사위를 던질 때의 확률과 변수 설정하기
먼저 주사위를 한 번 던질 때 나오는 결과를 정리해 봅시다.
- 3의 배수가 나오는 경우 (눈이 $3, 6$인 경우): 확률은 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$입니다.
- 3의 배수가 나오지 않는 경우 (눈이 $1, 2, 4, 5$인 경우): 확률은 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$입니다.
이 시행을 총 $5$번 반복하므로, **3의 배수가 나오는 횟수를 $X$**라고 합시다.
그러면 3의 배수가 나오지 않는 횟수는 자연스럽게 **$5 - X$**가 됩니다. (이때 $X$가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, 3, 4, 5$입니다.)
2단계: 각 상자에 들어가는 공의 개수를 $X$로 나타내기
규칙에 따라 5번의 시행 후 각 상자 $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$에 들어 있는 공의 개수를 $X$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
- **상자 $\text{A}$**:
3의 배수가 나오든 안 나오든 매번 공이 $1$개씩 들어갑니다. 따라서 5번 시행 후 상자 $\text{A}$의 공의 개수는 항상 일정합니다.
$$N_A = 5$$
- **상자 $\text{B}$**:
3의 배수가 나올 때마다 $2$개씩, 안 나올 때마다 $1$개씩 들어갑니다.
$$N_B = 2 \times X + 1 \times (5 - X) = X + 5$$
- **상자 $\text{C}$**:
3의 배수가 나올 때마다 $0$개, 안 나올 때마다 $1$개씩 들어갑니다.
$$N_C = 0 \times X + 1 \times (5 - X) = 5 - X$$
3단계: 조건 분석하기 (상자 $\text{B}$의 공의 개수가 홀수일 때)
문제에서 "상자 $\text{B}$에 들어 있는 공의 개수가 홀수일 때"라는 조건이 주어졌습니다.
상자 $\text{B}$의 공의 개수 식은 $N_B = X + 5$입니다.
$X + 5$가 홀수가 되려면, $5$가 홀수이므로 **$X$는 반드시 짝수**여야 합니다.
따라서 가능한 $X$의 값은 다음과 같습니다:
$$X = 0, 2, 4$$
이 조건이 바로 조건부확률의 전체 표본공간(분모)이 됩니다.
4단계: 구하고자 하는 사건 분석하기 ($\text{A}$와 $\text{C}$의 공의 합이 $8$ 이상)
우리가 구하고자 하는 사건은 "상자 $\text{A}$와 상자 $\text{C}$에 들어 있는 공의 개수의 합이 $8$ 이상"인 사건입니다.
식으로 나타내면 다음과 같습니다:
$$N_A + N_C \ge 8$$
여기에 2단계에서 구한 식을 대입해 봅시다.
$$5 + (5 - X) \ge 8$$
$$10 - X \ge 8$$
$$X \le 2$$
즉, 구하고자 하는 사건은 **$X \le 2$**인 경우입니다.
5단계: 조건부확률 계산하기
우리가 구해야 하는 확률은 **"$X$가 짝수일 때, $X \le 2$일 확률"**입니다.
즉, $X \in \{0, 2, 4\}$ 중에서 $X \in \{0, 2\}$일 확률을 구하는 것입니다.
$$P = \frac{P(X=0) + P(X=2)}{P(X=0) + P(X=2) + P(X=4)}$$
독립시행의 확률 공식 $P(X=k) = \binom{5}{k} \left(\frac{1}{3}\right)^k \left(\frac{2}{3}\right)^{5-k}$를 이용하여 각각의 확률을 구해 봅시다. 계산을 편하게 하기 위해 분모 $3^5 = 243$은 나중에 한 번에 정리할게요.
- **$P(X=0)$**:
$$P(X=0) = \binom{5}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$$
- **$P(X=2)$**:
$$P(X=2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$$
- **$P(X=4)$**:
$$P(X=4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$$
이제 이 값들을 조건부확률 식에 대입합니다. 분모의 $243$은 모두 약분되므로 분자만 가지고 계산할 수 있습니다.
$$P = \frac{32 + 80}{32 + 80 + 10} = \frac{112}{122} = \frac{56}{61}$$
답
⑤ $\frac{56}{61}$
확인해보기
주사위를 던져 3의 배수가 나오는 횟수를 $X$라고 할 때, 시행을 5번 반복한 후 **상자 $\text{A}$에 들어 있는 공의 개수가 항상 $5$개인 이유**를 규칙을 바탕으로 스스로 설명해 보세요.