어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 세 번 던져서 나오는 세 수 $a$, $b$, $c$에 대해 특정 조건이 성립할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 확률의 기본 정의: (사건이 일어날 경우의 수) / (모든 경우의 수)
- 합사건의 확률 (여사건 또는 합집합의 원소의 개수를 구하는 공식): 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $A$ 또는 $B$가 일어날 확률은 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 임을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 경우의 수 구하기
주사위 한 개를 던질 때 나올 수 있는 눈은 $1$부터 $6$까지 총 $6$가지입니다. 주사위를 세 번 던지므로, 일어날 수 있는 모든 경우의 수(전체 표본공간의 크기)는 다음과 같습니다.
$$6 \times 6 \times 6 = 216$$
2단계: 사건 $A$ ($a+b=8$)가 일어날 경우의 수 구하기
첫 번째와 두 번째 던져서 나온 눈의 합이 $8$이 되는 사건을 $A$라고 합시다.
$a+b=8$을 만족하는 순서쌍 $(a, b)$를 찾아보면 다음과 같습니다.
- $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ $\rightarrow$ 총 $5$가지
이때 세 번째 던진 주사위의 눈 $c$는 $1$부터 $6$까지 어떤 수가 와도 상관없습니다. 따라서 사건 $A$의 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$n(A) = 5 \times 6 = 30$$
3단계: 사건 $B$ ($b \ge c$)가 일어날 경우의 수 구하기
두 번째 눈이 세 번째 눈보다 크거나 같은 사건을 $B$라고 합시다.
$b \ge c$를 만족하는 순서쌍 $(b, c)$의 개수를 $b$의 값에 따라 분류하여 세어봅시다.
- $b=1$일 때: $c \in \{1\}$ $\rightarrow$ $1$가지
- $b=2$일 때: $c \in \{1, 2\}$ $\rightarrow$ $2$가지
- $b=3$일 때: $c \in \{1, 2, 3\}$ $\rightarrow$ $3$가지
- $b=4$일 때: $c \in \{1, 2, 3, 4\}$ $\rightarrow$ $4$가지
- $b=5$일 때: $c \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ $\rightarrow$ $5$가지
- $b=6$일 때: $c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ $\rightarrow$ $6$가지
따라서 $(b, c)$의 순서쌍의 개수는 $1+2+3+4+5+6 = 21$가지입니다.
이때 첫 번째 던진 주사위의 눈 $a$는 어떤 수가 와도 상관없으므로 $6$가지 가능성이 있습니다. 따라서 사건 $B$의 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$n(B) = 6 \times 21 = 126$$
4단계: 교사건 $A \cap B$ ($a+b=8$ 이고 $b \ge c$)가 일어날 경우의 수 구하기
두 조건 $a+b=8$과 $b \ge c$를 동시에 만족하는 경우의 수를 구해야 합니다. 2단계에서 구한 $a+b=8$인 순서쌍 $(a, b)$에 대해 $b \ge c$를 만족하는 $c$의 개수를 구하면 됩니다.
- $(a, b) = (2, 6)$ 일 때: $b=6$이므로 $c$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 모두 가능 $\rightarrow$ $6$가지
- $(a, b) = (3, 5)$ 일 때: $b=5$이므로 $c$는 $1, 2, 3, 4, 5$ 가능 $\rightarrow$ $5$가지
- $(a, b) = (4, 4)$ 일 때: $b=4$이므로 $c$는 $1, 2, 3, 4$ 가능 $\rightarrow$ $4$가지
- $(a, b) = (5, 3)$ 일 때: $b=3$이므로 $c$는 $1, 2, 3$ 가능 $\rightarrow$ $3$가지
- $(a, b) = (6, 2)$ 일 때: $b=2$이므로 $c$는 $1, 2$ 가능 $\rightarrow$ $2$가지
이 경우의 수들을 모두 더하면 교사건의 경우의 수가 됩니다.
$$n(A \cap B) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20$$
5단계: 확률 계산하고 약분하기
이제 합집합의 원소의 개수를 구하는 공식을 이용하여 $a+b=8$ 또는 $b \ge c$일 경우의 수 $n(A \cup B)$를 구합니다.
$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$
$$n(A \cup B) = 30 + 126 - 20 = 136$$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같습니다.
$$\text{확률} = \frac{136}{216}$$
이 분수를 기약분수로 만들기 위해 분모와 분자를 약분해 봅시다. 먼저 $8$로 나누어집니다.
$$\frac{136 \div 8}{216 \div 8} = \frac{17}{27}$$
$17$은 소수이고 $27$의 약수가 아니므로, 더 이상 약분되지 않는 서로소 관계입니다.
따라서 $p = 27$, $q = 17$이 됩니다.
마지막으로 $p+q$의 값을 구합니다.
$$p+q = 27 + 17 = 44$$
답
$$44$$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 만약 주사위를 두 번만 던져서 나오는 눈을 차례로 $a$, $b$라고 할 때, "$a+b=5$ 또는 $a \ge b$일 확률"을 구하려면 어떤 과정으로 풀어야 할까요? 식을 세워 생각해 보세요. (답은 직접 구해보며 연습해 봅시다!)