어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 가지 조건 (가)와 (나)를 만족하는 함수 $f: X \to X$의 개수를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 세 가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 부등식의 정리: 조건 (가)의 복잡한 부등식을 각 함숫값 사이의 관계식으로 단순하게 정리합니다.
- 경우 분류 (조건 (나) 활용): $f(2)$가 홀수라는 조건을 이용하여 문제를 몇 가지 쉬운 상황으로 나누어 생각합니다.
- **중복조합 (${}_nH_r$)**: 크기가 순서대로 정해진 변수들의 순서쌍의 개수를 구할 때 유용하게 쓰이는 도구입니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)의 부등식 정리하기
조건 (가)는 $x = 1, 2, 3, 4$일 때 성립하는 식입니다. 각 $x$ 값을 대입해서 함숫값들 사이의 관계를 알아봅시다.
- **$x=1$ 대입**:
$$f(2) + 3 \ge f(1) + 1 \implies f(1) \le f(2) + 2$$
- **$x=2$ 대입**:
$$f(3) + 3 \ge f(2) + 2 \implies f(3) \ge f(2) - 1$$
- **$x=3$ 대입**:
$$f(4) + 3 \ge f(3) + 3 \implies f(4) \ge f(3)$$
- **$x=4$ 대입**:
$$f(5) + 3 \ge f(4) + 4 \implies f(5) \ge f(4) + 1$$
이 식들을 묶어서 생각해보면, $f(1)$은 $f(2)$에 의해 결정되고, $f(3), f(4), f(5)$는 서로 꼬리를 물고 연결되어 있음을 알 수 있습니다.
특히 $f(3), f(4), f(5)$의 관계를 한 줄로 이어보면 다음과 같습니다.
$$f(3) \le f(4) \le f(5) - 1$$
2단계: 조건 (나)를 기준으로 경우 분류하기
조건 (나)에서 $f(2)$의 값은 홀수라고 했습니다. 공역 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 중에서 홀수는 $1, 3, 5$뿐이므로, $f(2)$가 가질 수 있는 값은 $1, 3, 5$ 세 가지입니다. 이 세 가지 경우로 나누어 각각 함수의 개수를 구해보겠습니다.
3단계: [경우 1] $f(2) = 1$인 경우
- **$f(1)$의 개수 구하기**:
1단계의 식에 의해 $f(1) \le f(2) + 2 = 1 + 2 = 3$입니다.
따라서 $f(1)$이 될 수 있는 값은 $1, 2, 3$으로 3가지입니다.
- **$f(3), f(4), f(5)$의 개수 구하기**:
1단계의 식에 의해 $f(3) \ge f(2) - 1 = 1 - 1 = 0$입니다. 하지만 공역의 원소는 최소 $1$이므로 $f(3) \ge 1$입니다.
따라서 다음 부등식이 성립합니다.
$$1 \le f(3) \le f(4) \le f(5) - 1 \le 4 \quad (\because f(5) \le 5)$$
여기서 계산을 쉽게 하기 위해 $y_1 = f(3)$, $y_2 = f(4)$, $y_3 = f(5) - 1$이라고 치환해 봅시다.
그러면 부등식은 $1 \le y_1 \le y_2 \le y_3 \le 4$가 됩니다.
이는 집합 $\{1, 2, 3, 4\}$에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같습니다.
$${}_4H_3 = {}_{4+3-1}C_3 = {}_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\text{가지}$$
- 경우 1의 총 개수:
$$3 \times 20 = 60\text{가지}$$
4단계: [경우 2] $f(2) = 3$인 경우
- **$f(1)$의 개수 구하기**:
$f(1) \le f(2) + 2 = 3 + 2 = 5$입니다.
따라서 $f(1)$이 될 수 있는 값은 $1, 2, 3, 4, 5$로 5가지입니다.
- **$f(3), f(4), f(5)$의 개수 구하기**:
$f(3) \ge f(2) - 1 = 3 - 1 = 2$입니다.
따라서 다음 부등식이 성립합니다.
$$2 \le f(3) \le f(4) \le f(5) - 1 \le 4$$
마찬가지로 치환하면, $2 \le y_1 \le y_2 \le y_3 \le 4$가 됩니다.
이는 집합 $\{2, 3, 4\}$에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같습니다.
$${}_3H_3 = {}_{3+3-1}C_3 = {}_5C_3 = {}_5C_2 = 10\text{가지}$$
- 경우 2의 총 개수:
$$5 \times 10 = 50\text{가지}$$
5단계: [경우 3] $f(2) = 5$인 경우
- **$f(1)$의 개수 구하기**:
$f(1) \le f(2) + 2 = 5 + 2 = 7$입니다. 하지만 공역의 원소는 최대 $5$이므로 $f(1) \le 5$입니다.
따라서 $f(1)$이 될 수 있는 값은 $1, 2, 3, 4, 5$로 5가지입니다.
- **$f(3), f(4), f(5)$의 개수 구하기**:
$f(3) \ge f(2) - 1 = 5 - 1 = 4$입니다.
따라서 다음 부등식이 성립합니다.
$$4 \le f(3) \le f(4) \le f(5) - 1 \le 4$$
이 식을 만족하는 값은 $f(3) = 4$, $f(4) = 4$, $f(5) - 1 = 4 \implies f(5) = 5$로 1가지뿐입니다.
(중복조합으로 계산해도 ${}_1H_3 = {}_3C_3 = 1$로 같습니다.)
- 경우 3의 총 개수:
$$5 \times 1 = 5\text{가지}$$
6단계: 전체 함수의 개수 합산하기
각 경우는 동시에 일어날 수 없으므로(합의 법칙), 구한 값들을 모두 더합니다.
$$\text{전체 함수의 개수} = 60 + 50 + 5 = 115$$
답
$$115$$
확인해보기
만약 조건 (나)가 **"$f(2)$의 값은 짝수이다"**로 바뀐다면, $f(2)$가 가질 수 있는 값은 무엇이며 이때 만족하는 함수 $f$의 개수는 총 몇 개가 될지 스스로 계산해 보세요!