어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 $1$로 가까이 갈 때, 주어진 분수식의 극한값을 구하는 문제입니다. 분모와 분자에 $x=1$을 대입해 보면 $\frac{0}{0}$ 꼴이 되는 것을 확인할 수 있습니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$
- 지수함수의 미분: $f(x) = e^x$일 때, $f'(x) = e^x$
단계별 풀이
이 문제는 미분계수의 정의를 이용하면 아주 쉽고 빠르게 풀 수 있습니다. 함께 차근차근 해결해 봅시다.
1단계: 함수 $f(x)$ 정의하기
주어진 극한 식 $\lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x - 1}$의 분자를 가만히 살펴봅시다.
여기서 $f(x) = e^x$라고 이름을 붙여볼까요?
그렇다면 $x=1$일 때의 함수값은 $f(1) = e^1 = e$가 됩니다.
2단계: 식을 미분계수의 정의 모양으로 바꾸기
우리가 정의한 $f(x) = e^x$와 $f(1) = e$를 원래 식에 대입해 봅시다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$
이 모양, 어디서 많이 본 모양이죠? 바로 함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 **미분계수($f'(1)$)**를 나타내는 정의 식입니다!
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1)$$
3단계: 미분하여 값 구하기
이제 $f'(1)$의 값만 구하면 끝납니다.
함수 $f(x) = e^x$를 미분하면 도함수는 그대로 $f'(x) = e^x$입니다.
여기에 $x=1$을 대입하면 다음과 같습니다.
$$f'(1) = e^1 = e$$
따라서 우리가 구하고자 하는 극한값은 $e$가 됩니다.
답
**① $e$**
확인해보기
오늘 배운 미분계수의 정의를 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요. (답은 직접 구해보세요!)
> 질문: 함수 $f(x) = e^x$에 대하여, 극한값 $\lim_{x \to 2} \frac{e^x - e^2}{x - 2}$은 얼마일까요?