어떤 문제인가
이 문제는 복잡해 보이는 삼각함수와 지수함수가 섞여 있는 식의 정적분 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 치환적분법 (Integration by Substitution): 식의 일부를 새로운 변수로 치환하여 적분하기 쉬운 형태로 바꾸는 방법입니다.
- 삼각함수의 미분: $\sin x$를 미분하면 $\cos x$가 된다는 성질($(\sin x)' = \cos x$)을 이용합니다.
- 지수함수의 적분: $e^x$를 적분하면 그대로 $e^x$가 된다는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 식을 단순하게 만들기 위해 1차 치환하기
문제의 식을 보면 $x - \frac{\pi}{4}$라는 모양이 반복되고 있습니다. 이 부분을 먼저 간단한 변수 $t$로 치환해 봅시다.
$$t = x - \frac{\pi}{4}$$로 놓으면, 양변을 미분했을 때 $$dt = dx$$가 됩니다.
이제 적분 구간(위끝과 아래끝)도 $x$에서 $t$에 대한 값으로 바꾸어 주어야 합니다.
- $x = \frac{\pi}{4}$ 일 때, $t = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$
- $x = \frac{3\pi}{4}$ 일 때, $t = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
이 값들을 원래 식에 대입하면 정적분 식은 다음과 같이 간단해집니다.
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \cdot e^{\sin t} dt$$
2단계: 치환적분법 적용하기 (2차 치환)
이제 식을 보니 $\sin t$와 그것을 미분한 형태인 $\cos t$가 함께 곱해져 있습니다. 이것은 치환적분법을 쓰기에 아주 좋은 형태입니다!
이번에는 $$u = \sin t$$로 치환해 봅시다.
양변을 $t$에 대해 미분하면, $$du = \cos t \, dt$$가 됩니다.
마찬가지로 적분 구간을 $t$에서 $u$로 바꾸어 줍니다.
- $t = 0$ 일 때, $u = \sin 0 = 0$
- $t = \frac{\pi}{2}$ 일 때, $u = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
이것을 식에 대입하면 아주 간단한 지수함수의 적분식으로 바뀝니다.
$$\int_{0}^{1} e^u du$$
3단계: 정적분 계산하기
이제 마지막으로 $e^u$를 적분하여 값을 구합니다. $e^u$의 부정적분은 그대로 $e^u$입니다.
$$\int_{0}^{1} e^u du = \left[ e^u \right]_{0}^{1}$$
여기에 위끝 $1$과 아래끝 $0$을 대입하여 계산합니다.
$$e^1 - e^0 = e - 1$$
(참고: 모든 수의 $0$제곱은 $1$이므로 $e^0 = 1$입니다.)
답
따라서 구하고자 하는 정적분의 값은 **$e - 1$ 이며, 정답은 ④**번입니다.
확인해보기
오늘 배운 치환적분법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
> [질문]
> 만약 적분 구간이 $[0, \pi]$이고, 구하고자 하는 식이 $\int_{0}^{\pi} \cos x \cdot e^{\sin x} dx$ 라면 이 정적분의 값은 무엇이 될까요? 위에서 배운 단계대로 치환하여 직접 계산해 보세요!