어떤 문제인가
이 문제는 무한대로 가는 수열의 극한값을 구하는 문제입니다. 주어진 식의 분모를 보면 $\infty - \infty$ 꼴을 가지고 있어서 이대로는 극한값을 바로 구할 수 없습니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- **무한대 빼기 무한대 ($\infty - \infty$) 꼴의 유리화**: 분모에 루트가 있고 서로 빼는 형태일 때는 분모와 분자에 합차 공식을 적용할 수 있는 식을 곱해 유리화를 해줍니다.
- 수열의 극한의 수렴 조건: $n \to \infty$일 때, 분수 형태의 식의 극한값이 $0$이 아닌 상수로 수렴하려면 분자와 분모의 최고차항의 차수가 같아야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 분모 유리화하기
분모에 있는 $\sqrt{n^4+4n} - \sqrt{n^4+n}$을 유리화하기 위해, 분모와 분자에 각각 $\sqrt{n^4+4n} + \sqrt{n^4+n}$을 곱해줍니다.
먼저 분모만 따로 계산해 볼까요? 합차 공식 $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$을 이용합니다.
$$(\sqrt{n^4+4n} - \sqrt{n^4+n})(\sqrt{n^4+4n} + \sqrt{n^4+n})$$
$$= (n^4+4n) - (n^4+n) = 3n$$
분모가 아주 깔끔하게 $3n$으로 정리되었네요! 이제 원래 식에 대입해 봅시다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a n^b (\sqrt{n^4+4n} + \sqrt{n^4+n})}{3n}$$
2단계: 식 정리하고 $n$의 차수 비교하기
이제 분자에서 루트 안에 있는 $n^4$을 루트 밖으로 꺼내어 식을 더 단순하게 만들어 봅시다.
$\sqrt{n^4} = n^2$이므로 다음과 같이 묶을 수 있습니다.
$$\sqrt{n^4+4n} = \sqrt{n^4\left(1+\frac{4}{n^3}\right)} = n^2\sqrt{1+\frac{4}{n^3}}$$
$$\sqrt{n^4+n} = \sqrt{n^4\left(1+\frac{1}{n^3}\right)} = n^2\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}$$
이것을 분자에 다시 대입해 정리해 볼게요.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a n^b \cdot n^2 \left(\sqrt{1+\frac{4}{n^3}} + \sqrt{1+\frac{1}{n^3}}\right)}{3n}$$
분자의 $n^b \cdot n^2$은 지수법칙에 의해 $n^{b+2}$가 되고, 분모의 $n$과 약분하면 전체적으로 $n^{b+1}$이 됩니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a n^{b+1} \left(\sqrt{1+\frac{4}{n^3}} + \sqrt{1+\frac{1}{n^3}}\right)}{3}$$
3단계: 극한값 계산하여 $a$와 $b$ 구하기
$n \to \infty$일 때, $\frac{4}{n^3}$과 $\frac{1}{n^3}$은 모두 $0$으로 수렴합니다.
따라서 괄호 안의 식은 다음과 같이 수렴하게 됩니다.
$$\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{1+\frac{4}{n^3}} + \sqrt{1+\frac{1}{n^3}}\right) = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2$$
이 값을 적용하면 극한식은 다음과 같이 단순해집니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{2a n^{b+1}}{3} = 6$$
이 극한값이 $0$이 아닌 상수 $6$으로 수렴하기 위해서는 $n$의 지수인 $b+1$이 반드시 $0$이어야 합니다. (만약 $b+1 > 0$이면 무한대로 발산하고, $b+1 < 0$이면 $0$으로 수렴해 버리니까요!)
따라서,
$$b+1 = 0 \implies b = -1$$
$b = -1$일 때 $n^0 = 1$이 되므로, 남은 식은 다음과 같습니다.
$$\frac{2a}{3} = 6$$
$$2a = 18 \implies a = 9$$
우리가 구하고자 하는 값은 $a+b$이므로,
$$a+b = 9 + (-1) = 8$$
답
**② $8$**
확인해보기
수업을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문:
> 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 + 2n}{n^k} = 5$ (단, $k$는 상수)가 성립할 때, $k$의 값은 얼마여야 할까요? 분모와 분자의 차수를 비교하여 생각해보세요.