어떤 문제인가
이 문제는 유리함수 곡선과 두 점을 잇는 선분(직선)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 교점의 좌표 구하기: 주어진 $y$ 값을 이용해 곡선 위의 점 $\text{A}$와 $\text{B}$의 좌표를 찾습니다.
- 직선의 방정식 구하기: 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
- 정적분을 이용한 넓이 구하기: 두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위해 $\int_{a}^{b} (\text{위의 식} - \text{아래의 식}) \, dx$ 공식을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\text{A}$와 점 $\text{B}$의 좌표 구하기
먼저 곡선 $y = \frac{3}{x-1}$과 두 직선 $y=1$, $y=3$이 만나는 점의 $x$좌표를 각각 구해봅시다.
- **점 $\text{A}$ 구하기 ($y=1$ 일 때)**
$$1 = \frac{3}{x-1}$$
양변에 $x-1$을 곱하면,
$$x-1 = 3 \implies x = 4$$
따라서 점 $\text{A}$의 좌표는 $\text{A}(4, 1)$입니다.
- **점 $\text{B}$ 구하기 ($y=3$ 일 때)**
$$3 = \frac{3}{x-1}$$
양변을 3으로 나누고 정리하면,
$$x-1 = 1 \implies x = 2$$
따라서 점 $\text{B}$의 좌표는 $\text{B}(2, 3)$입니다.
2단계: 두 점 $\text{A}$, $\text{B}$를 지나는 직선의 방정식 구하기
두 점 $\text{A}(4, 1)$와 $\text{B}(2, 3)$을 지나는 직선의 방정식을 구해봅시다.
- **기울기 ($m$) 구하기**
$$m = \frac{3 - 1}{2 - 4} = \frac{2}{-2} = -1$$
- 직선의 방정식 구하기
기울기가 $-1$이고 점 $(4, 1)$을 지나므로,
$$y - 1 = -1(x - 4)$$
$$y = -x + 5$$
3단계: 둘러싸인 영역의 위아래 관계 파악하기
구하고자 하는 넓이는 $x$의 범위가 $2$부터 $4$까지일 때입니다. 이 구간 $[2, 4]$에서 직선 $y = -x+5$와 곡선 $y = \frac{3}{x-1}$ 중 어느 것이 더 위에 있는지 확인해 봅시다.
예를 들어, 구간의 중간값인 $x=3$을 대입해 볼까요?
- 직선: $y = -3 + 5 = 2$
- 곡선: $y = \frac{3}{3-1} = 1.5$
직선의 $y$값이 더 크므로, 이 구간에서는 직선이 곡선보다 위에 있습니다.
4단계: 정적분으로 넓이 계산하기
따라서 구하고자 하는 넓이 $S$는 다음과 같이 정적분으로 식을 세울 수 있습니다.
$$S = \int_{2}^{4} \left( (-x + 5) - \frac{3}{x-1} \right) dx$$
이제 이 정적분을 계산해 봅시다. 각각의 항을 적분하면 다음과 같습니다.
- $\int (-x + 5) dx = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$
- $\int \frac{3}{x-1} dx = 3\ln|x-1|$ (단, $x > 1$이므로 절댓값 기호는 생략 가능합니다.)
이를 합쳐서 위끝 $4$와 아래끝 $2$를 대입합니다.
$$S = \left[ -\frac{1}{2}x^2 + 5x - 3\ln(x-1) \right]_{2}^{4}$$
값들을 대입하여 계산해 봅시다.
- **$x=4$ 대입:**
$$\left( -\frac{1}{2}(16) + 5(4) - 3\ln(3) \right) = -8 + 20 - 3\ln 3 = 12 - 3\ln 3$$
- **$x=2$ 대입:**
$$\left( -\frac{1}{2}(4) + 5(2) - 3\ln(1) \right) = -2 + 10 - 0 = 8$$ (참고: $\ln 1 = 0$)
두 값을 뺍니다.
$$S = (12 - 3\ln 3) - 8 = 4 - 3\ln 3$$
답
정답은 **① $4 - 3\ln 3$** 입니다.
확인해보기
이 문제를 $x$축 기준이 아닌, **$y$축을 기준으로 정적분(즉, $y$에 대해 적분)**하여 넓이를 구하려고 합니다. 이때 적분 식을 어떻게 세워야 할지 생각해보세요. (힌트: 주어진 곡선과 직선의 방정식을 $x = f(y)$ 꼴로 나타내고, $y$의 범위를 생각해보세요!)