반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 미적분 과목에서 아주 자주 출제되는 합성함수의 미분과 역함수의 미분법이 결합된 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 개념을 하나씩 쪼개서 적용하면 생각보다 어렵지 않게 해결할 수 있어요. 선생님과 함께 차근차근 한 단계씩 나아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 복잡한 함수 $f(x^3+x)$의 역함수 $g(x)$에 대하여, 특정 지점에서의 함숫값 $g(1)$과 미분계수 $g'(1)$의 합을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 역함수의 정의와 성질: $y = H(x) \iff x = H^{-1}(y)$
- 합성함수의 미분법 (연쇄 법칙): $\{f(v(x))\}' = f'(v(x)) \cdot v'(x)$
- 역함수의 미분법: $g(x)$가 $H(x)$의 역함수일 때, $g'(x) = \frac{1}{H'(g(x))}$
단계별 풀이
1단계: 복잡한 함수를 하나의 함수로 정의하기
함수 $f(x^3+x)$가 계속 나오면 식이 복잡해 보여서 실수하기 쉽습니다. 따라서 이 함수를 새로운 함수 $H(x)$로 정의해 봅시다.
$$H(x) = f(x^3+x)$$
문제에서 이 함수의 역함수를 $g(x)$라고 했으므로, $g(x) = H^{-1}(x)$가 성립합니다. 즉, 다음의 관계가 있습니다.
$$H(g(x)) = x$$
2단계: $g(1)$의 값 구하기
우리가 구해야 하는 첫 번째 값인 $g(1)$을 구해봅시다.
$g(1) = a$라고 놓는다면, 역함수의 성질에 의해 다음이 성립합니다.
$$H(a) = 1$$
$H(x)$의 정의를 대입하면 다음과 같습니다.
$$f(a^3+a) = 1$$
그런데 문제 조건에서 $f(2) = 1$이라고 주어졌습니다. 또한, 모든 실수 $x$에 대해 $f'(x) > 0$이므로 함수 $f(x)$는 일대일 함수(증가함수)입니다. 따라서 $f$의 함숫값이 $1$이 되는 입력값은 오직 $2$뿐입니다.
$$a^3+a = 2$$
이 방정식을 풀기 위해 이항하면,
$$a^3+a-2 = 0$$
$a=1$을 대입하면 식이 성립하므로 인수분해를 합니다.
$$(a-1)(a^2+a+2) = 0$$
$a^2+a+2 = 0$은 실근을 갖지 않으므로(판별식 $D < 0$), 실수 $a$의 값은 오직 하나뿐입니다.
$$a = 1$$
따라서, 첫 번째 퍼즐 조각을 찾았습니다!
$$g(1) = 1$$
3단계: $g'(1)$을 구하기 위한 관계식 세우기
이제 두 번째 퍼즐 조각인 $g'(1)$을 구할 차례입니다. 역함수의 미분법 공식을 사용해 봅시다.
$$g'(x) = \frac{1}{H'(g(x))}$$
여기에 $x=1$을 대입하고, 위에서 구한 $g(1)=1$을 적용합니다.
$$g'(1) = \frac{1}{H'(g(1))} = \frac{1}{H'(1)}$$
그렇다면 $H'(1)$을 구해야겠네요! $H(x) = f(x^3+x)$를 합성함수의 미분법을 이용해 미분해 봅시다.
$$H'(x) = f'(x^3+x) \cdot (x^3+x)' = f'(x^3+x) \cdot (3x^2+1)$$
여기에 $x=1$을 대입합니다.
$$H'(1) = f'(1^3+1) \cdot (3 \cdot 1^2 + 1) = f'(2) \cdot 4$$
이 값을 $g'(1)$ 식에 대입하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$g'(1) = \frac{1}{4f'(2)}$$
4단계: 주어진 조건을 이용해 $f'(2)$와 $g'(1)$ 구하기
문제에서 아주 중요한 단서인 $f'(2) = 8g'(1) - 1$을 주었습니다.
3단계에서 구한 $g'(1) = \frac{1}{4f'(2)}$을 이 식에 대입해 봅시다. 편의상 $f'(2) = k$라고 둘게요. (조건에서 $f'(x) > 0$이므로 $k > 0$입니다.)
$$k = 8 \left( \frac{1}{4k} \right) - 1$$
$$k = \frac{2}{k} - 1$$
양변에 $k$를 곱하여 정리합니다.
$$k^2 = 2 - k$$
$$k^2 + k - 2 = 0$$
$$(k+2)(k-1) = 0$$
$k > 0$이어야 하므로, $k = 1$입니다. 즉,
$$f'(2) = 1$$
이 값을 다시 $g'(1) = \frac{1}{4f'(2)}$에 대입하면,
$$g'(1) = \frac{1}{4}$$
5단계: 최종 답 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $g(1) + g'(1)$입니다.
$$g(1) + g'(1) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$
답
정답은 ① $\frac{5}{4}$ 입니다.
확인해보기
만약 $f'(x)>0$ 조건은 없애고 $f(x^3+x)$의 역함수 $g$가 존재한다는 조건은 유지한다면, 어떤 결론이 달라질까요?
> 힌트: $x^3+x$는 실수 전체를 치역으로 가지므로, 역함수가 존재한다는 조건만으로도 $f$는 일대일 함수입니다. 따라서 $g(1)=1$은 유지됩니다. 다만 $k=f'(2)$에 대한 식 $(k+2)(k-1)=0$에서 $k=-2$를 양수 조건으로 제외할 수는 없습니다.