반갑습니다! 수학과 물리를 가르치는 교사입니다. 오늘 함께 풀어볼 문제는 삼차함수와 삼각함수가 결합된 아주 정교하고 아름다운 미적분 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 함수의 연속성과 미분가능성, 그리고 삼차함수의 대칭성이라는 핵심 개념을 하나씩 적용하면 실타래가 풀리듯 명쾌하게 해결할 수 있습니다. 자, 시작해 볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 관계식 $f(x) = g(x) - \tan g(x)$를 바탕으로, 삼차함수 $f(x)$의 식을 구체적으로 결정하고 이를 통해 $g'(0) \times (g(0))^2$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 함수의 정의구역과 연속성: $\tan \theta$가 정의되려면 $\theta \neq n\pi + \frac{\pi}{2}$여야 하므로, $g(x)$의 치역(값의 범위)이 제한됩니다.
- 삼차함수의 대칭성(변곡점): 삼차함수는 변곡점에 대해 대칭입니다. 조건 (가)의 $f''(\pi) = 0$은 $x = \pi$가 $f(x)$의 변곡점임을 알려줍니다.
- 미분가능성(Differentiability): $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하므로, 도함수 $g'(x)$가 모든 곳에서 실수 값으로 존재해야 합니다. (분모가 $0$이 되어 미분계수가 발산하는 상황을 막아야 합니다.)
단계별 풀이
1단계: 함수 $g(x)$가 가질 수 있는 값의 범위(치역) 제한하기
문제에서 $g(x)$는 실수 전체에서 미분가능하므로 당연히 연속함수입니다. 또한, 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) = g(x) - \tan g(x)$가 정의되려면 $\tan g(x)$의 값이 항상 존재해야 합니다.
즉, $g(x)$는 탄젠트 함수의 점근선인 $n\pi + \frac{\pi}{2}$ (단, $n$은 정수)라는 값을 가질 수 없습니다.
$$g(x) \neq n\pi + \frac{\pi}{2}$$
연속함수 $g(x)$가 이 점근선들을 통과할 수 없으므로, $g(x)$의 치역은 어떤 정수 $n$에 대해 반드시 하나의 열린 구간 $(n\pi - \frac{\pi}{2}, n\pi + \frac{\pi}{2})$ 안에 완전히 포함되어야 합니다.
그런데 조건 (나)에서 $\lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{3\pi}{2}$라고 했습니다. 이 극한값 $\frac{3\pi}{2}$는 탄젠트의 점근선 중 하나입니다. 따라서 $g(x)$가 가질 수 있는 범위는 다음 두 가지 후보로 압축됩니다.
- 케이스 A: $g(x) \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$ 이고, $x \to \infty$일 때 $g(x) \to \frac{3\pi}{2}^-$ (아래에서 접근)
- 케이스 B: $g(x) \in \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$ 이고, $x \to \infty$일 때 $g(x) \to \frac{3\pi}{2}^+$ (위에서 접근)
2단계: 조건 (나)를 이용해 $g(\pi)$와 $f(\pi)$ 구하기
조건 (나)에서 $\sin g(\pi) = 0$이라고 했습니다. 사인 값이 $0$이 되는 지점은 정수 배의 $\pi$이므로, $g(\pi) = k\pi$ (단, $k$는 정수)입니다.
위의 두 케이스에 대입해 봅시다.
- 케이스 A인 경우: 구간 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$에 속하는 정수 배의 $\pi$는 $\pi$뿐이므로, $g(\pi) = \pi$입니다.
- 케이스 B인 경우: 구간 $\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$에 속하는 정수 배의 $\pi$는 $2\pi$뿐이므로, $g(\pi) = 2\pi$입니다.
이때 $f(\pi)$의 값도 구해둡시다. $f(x) = g(x) - \tan g(x)$이므로,
- 케이스 A: $f(\pi) = g(\pi) - \tan g(\pi) = \pi - \tan \pi = \pi$
- 케이스 B: $f(\pi) = g(\pi) - \tan g(\pi) = 2\pi - \tan 2\pi = 2\pi$
3단계: $g(x)$의 미분가능성을 이용하여 케이스 확정 및 $f(x)$ 구하기
조건 (가)에서 $f''(\pi) = 0$이므로, 삼차함수 $f(x)$는 변곡점 $(\pi, f(\pi))$에 대해 대칭입니다.
따라서 $f(x)$의 식을 변곡점 기준으로 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) - f(\pi) = a(x-\pi)^3 + c(x-\pi)$$
여기에 조건 (가)의 $f(0) = 0$을 대입해 봅시다.
- 케이스 A ($f(\pi) = \pi$):
$$0 - \pi = a(-\pi)^3 + c(-\pi) \implies \pi = a\pi^3 + c\pi \implies c = 1 - a\pi^2$$
따라서, $f(x) - \pi = a(x-\pi)^3 + (1-a\pi^2)(x-\pi)$ 입니다.
- 케이스 B ($f(\pi) = 2\pi$):
$$0 - 2\pi = a(-\pi)^3 + c(-\pi) \implies 2\pi = a\pi^3 + c\pi \implies c = 2 - a\pi^2$$
따라서, $f(x) - 2\pi = a(x-\pi)^3 + (2-a\pi^2)(x-\pi)$ 입니다.
이제 $g$가 미분가능하다는 조건을 바로 사용해 봅시다. 양변을 미분하면
$$f'(x)=\bigl(1-\sec^2g(x)\bigr)g'(x)=-\tan^2g(x)\,g'(x)$$
입니다. $g(\pi)$는 $\pi$의 정수배이므로 $\tan g(\pi)=0$이고, $g'(\pi)$는 유한한 실수입니다. 따라서
$$c=f'(\pi)=0$$
입니다. 근사식을 미분하거나 테일러 전개를 사용할 필요 없이, 합성함수의 미분법으로 일차항이 사라짐을 알 수 있습니다.
- 케이스 A에서 $c = 0$이면:
$$1 - a\pi^2 = 0 \implies a = \frac{1}{\pi^2} > 0$$
최고차항의 계수 $a$가 양수이므로 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$입니다.
하지만 케이스 A에서는 $x \to \infty$일 때 $g(x) \to \frac{3\pi}{2}^-$이므로, $\tan g(x) \to \infty$가 되어 $f(x) = g(x) - \tan g(x) \to -\infty$가 되어야 하므로 모순이 발생합니다.
- 케이스 B에서 $c = 0$이면:
$$2 - a\pi^2 = 0 \implies a = \frac{2}{\pi^2} > 0$$
최고차항의 계수 $a$가 양수이므로 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$입니다.
케이스 B에서는 $x \to \infty$일 때 $g(x) \to \frac{3\pi}{2}^+$이므로, $\tan g(x) \to -\infty$가 되어 $f(x) = g(x) - \tan g(x) \to \infty$가 되므로 완벽하게 일치합니다!
따라서 우리는 케이스 B가 참임을 알 수 있고, 삼차함수 $f(x)$의 식을 완벽하게 구했습니다!
$$f(x) = \frac{2}{\pi^2}(x-\pi)^3 + 2\pi$$
4단계: $g'(0) \times (g(0))^2$ 계산하기
이제 구하고자 하는 값을 찾아봅시다.
양변 $f(x) = g(x) - \tan g(x)$를 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = g'(x) - g'(x)\sec^2 g(x) = g'(x)(1 - \sec^2 g(x)) = -g'(x)\tan^2 g(x)$$
이 식에 $x = 0$을 대입하면:
$$f'(0) = -g'(0)\tan^2 g(0)$$
한편, 조건 (가)에서 $f(0) = 0$이므로 $g(0) - \tan g(0) = 0 \implies \tan g(0) = g(0)$ 입니다.
이를 위 식에 대입하면 아주 깔끔한 형태가 나옵니다!
$$f'(0) = -g'(0)(g(0))^2 \implies g'(0) \times (g(0))^2 = -f'(0)$$
우리가 구해야 하는 값은 바로 $-f'(0)$이군요! $f(x)$를 미분하여 $f'(0)$을 구해봅시다.
$$f(x) = \frac{2}{\pi^2}(x-\pi)^3 + 2\pi$$
$$f'(x) = \frac{6}{\pi^2}(x-\pi)^2$$
$$f'(0) = \frac{6}{\pi^2}(0-\pi)^2 = \frac{6}{\pi^2} \times \pi^2 = 6$$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$g'(0) \times (g(0))^2 = -f'(0) = -6$$
답
정답은 ② $-6$ 입니다.
확인해보기
$g(\pi)$가 $\pi$의 정수배이고 $g$가 미분가능할 때, 왜 $f'(\pi)=0$이어야 할까요? $f'(x)=-\tan^2g(x)\,g'(x)$에 직접 대입하여 설명해 보세요.