안녕하세요! 수학을 함께 공부하는 선생님입니다. 오늘 가져온 문제는 등비수열과 급수의 수렴 조건, 그리고 정수의 성질을 결합한 아주 재미있고 깊이 있는 문제입니다.
겉보기에는 복잡해 보이지만, 조건들을 하나씩 논리적으로 쪼개어 분석하면 실타래가 풀리듯 멋지게 해결할 수 있습니다. 자, 준비되었나요? 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 수렴하는 등비급수의 성질과 정수의 약수·배수 관계를 이용하여 등비수열의 첫째항 $a_1$과 공비 $r$을 찾아내는 문제입니다.
우리가 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등비급수의 수렴 조건: 등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하려면 공비 $r$의 범위가 $-1 < r < 1$이어야 하며, 이때 합은 $S = \frac{a_1}{1-r}$입니다.
- 등비중항의 성질: 등비수열에서 연속한 세 항 $x, y, z$가 있다면, 이들 사이에는 $y^2 = xz$라는 관계가 성립합니다. 따라서 세 항의 곱은 $xyz = y^3$이 됩니다.
- 정수의 성질과 부정방정식: 공비가 유리수라는 조건과 정수인 항이 딱 3개뿐이라는 제한 조건을 조합해 가능한 수들을 추려냅니다.
단계별 풀이
1단계: 정수인 세 항의 관계 파악하기 (등비중항의 마법)
조건 (나)에서 수열 $\{a_n\}$의 항 중 정수인 항은 오직 3개뿐이고, 이 세 항의 곱이 $216$이라고 했습니다.
이 세 정수인 항을 순서대로 $x, y, z$라고 해봅시다. 이 항들은 원래 등비수열 $\{a_n\}$에서 뽑아낸 것이므로, 이 세 수 역시 등비수열을 이룹니다.
따라서 등비중항의 성질에 의해 다음이 성립합니다:
$$y^2 = xz$$
이 세 항의 곱을 구해보면:
$$x \times y \times z = (xz) \times y = y^2 \times y = y^3 = 216$$
$216$은 $6^3$이므로, 우리는 아주 중요한 단서를 얻게 됩니다!
$$y = 6$$
즉, **세 정수인 항 중 가운데 항의 값은 반드시 $6$**이어야 합니다.
2단계: 공비 $r$의 부호 결정하기
이제 공비 $r$이 양수인지 음수인지 생각해 봅시다. 문제에서 첫째항 $a_1 > 0$이라고 했습니다.
- **만약 $r > 0$이라면:**
모든 항이 양수입니다. 급수가 수렴하므로 $0 < r < 1$이어야 하고, 따라서 항의 값은 뒤로 갈수록 점점 작아집니다 ($a_1 > a_2 > a_3 > \dots$).
가운데 정수인 항이 $6$이므로, 그 앞의 정수인 항은 $6$보다 커야 합니다. 즉, 첫째항 $a_1$은 최소한 $6$보다 큰 정수이거나 그 이상의 수여야 합니다.
그렇다면 $a_1 > 6$이고, $a_2$ 역시 양수이므로 $a_1 + a_2$는 무조건 $6$보다 크게 됩니다. 구체적으로 계산해 보면 조건 (가)인 $a_1 + a_2 < 10$을 만족하기 어렵습니다. (예를 들어, 정수인 항이 연속해 있다면 $a_1 \ge 9, a_2 = 6$이 되어 $a_1 + a_2 \ge 15$가 됩니다.)
- **만약 $r < 0$이라면:**
항의 부호가 $+ , - , + , - , \dots$로 번갈아 나타납니다.
가운데 정수인 항이 $y = 6$으로 양수이므로, 양옆의 정수인 항 $x$와 $z$는 음수여야 합니다. 이 경우 $a_1 + a_2 < 10$을 만족하는 조합을 찾을 수 있습니다.
따라서 공비 $r$은 음수($-1 < r < 0$)여야 합니다.
3단계: 공비 $r$과 첫째항 $a_1$ 구하기
공비 $r$이 유리수이므로, 서로소인 두 자연수 $a, b$ ($a > b \ge 1$)를 이용하여 다음과 같이 놓을 수 있습니다:
$$r = -\frac{b}{a}$$
세 정수인 항을 $a_{m-1}, a_m, a_{m+1}$이라 하면, 가운데 항 $a_m = 6$입니다.
- $a_{m-1} = \frac{6}{r} = -\frac{6a}{b}$
- $a_{m+1} = 6r = -\frac{6b}{a}$
이 두 항이 모두 정수가 되어야 하므로, 분모인 $b$는 $6a$의 약수여야 하고 $a$는 $6b$의 약수여야 합니다. $a$와 $b$는 서로소이므로, 결국 **$b$는 $6$의 약수, $a$도 $6$의 약수**여야 합니다.
또한, 정수인 항이 딱 3개만 존재해야 하므로 더 이상 약분되어 정수가 되는 항이 나오지 않도록 조절해야 합니다.
가장 유력한 후보로 $a=3, b=2$를 택해봅시다. 즉, $r = -\frac{2}{3}$입니다.
이때 세 정수인 항은 다음과 같습니다:
- $a_{m-1} = -\frac{6 \times 3}{2} = -9$
- $a_m = 6$
- $a_{m+1} = -\frac{6 \times 2}{3} = -4$
이 세 항이 수열의 몇 번째 항인지 결정해야 합니다. 첫째항 $a_1$은 양수여야 하므로, 음수인 $-9$는 첫째항이 될 수 없습니다.
따라서 $a_2 = -9$, $a_3 = 6$, $a_4 = -4$라고 가정해 봅시다.
이 경우 첫째항 $a_1$은 다음과 같습니다:
$$a_1 = \frac{a_2}{r} = \frac{-9}{-2/3} = \frac{27}{2} = 13.5$$
이제 조건들을 검증해 봅시다:
- 첫째항 조건: $a_1 = 13.5 > 0$ (만족)
- 조건 (가): $a_1 + a_2 = 13.5 + (-9) = 4.5 < 10$ (만족!)
- 정수 항의 개수:
* $a_1 = 13.5$ (정수 아님)
* $a_2 = -9$ (정수 1)
* $a_3 = 6$ (정수 2)
* $a_4 = -4$ (정수 3)
* $a_5 = -4 \times (-2/3) = 8/3$ (정수 아님)
* 이후의 항들은 분모에 $3$의 거듭제곱이 계속 커지므로 절대 정수가 될 수 없습니다. 따라서 정수인 항은 정확히 3개입니다. (만족!)
모든 조건이 완벽하게 들어맞습니다! 따라서 $a_1 = \frac{27}{2}$, $r = -\frac{2}{3}$입니다.
4단계: 급수의 합 구하기
이제 무한등비급수의 합 공식 $S = \frac{a_1}{1-r}$에 대입합니다.
$$S = \frac{\frac{27}{2}}{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{\frac{27}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{27}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{81}{10}$$
따라서 $\frac{q}{p} = \frac{81}{10}$이 되며, $10$과 $81$은 서로소인 자연수이므로 $p = 10$, $q = 81$입니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $p+q$이므로:
$$p+q = 10 + 81 = 91$$
답
$$91$$
확인해보기
배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 어떤 등비수열의 모든 항 중 정수인 항이 오직 3개 존재하고, 이 세 항의 곱이 $-1000$이라고 합니다. 이 세 정수인 항이 수열에서 연속해 있을 때, 이 중 가운데 항의 값은 얼마일까요? (힌트: 등비중항의 성질을 떠올려 보세요!)