어떤 문제인가
유리수 공비를 갖는 등비수열에서 정수인 항이 정확히 세 개라는 조건을 이용하는 문제입니다. 세 정수 항이 연속한다는 사실과 가능한 공비를 먼저 증명한 뒤 급수의 합을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 정수인 세 항이 연속함을 보이기
공비를 기약분수 $r=u/v$로 놓습니다. 여기서 $u$는 정수, $v$는 양의 정수이고 $\gcd(|u|,v)=1$입니다. 첫째항이 양수이고 급수가 수렴하므로 $|r|<1$입니다. $r=0$이면 두 번째 항부터 모두 정수 0이 되어 조건에 어긋나므로 $0<|u|<v$입니다.
정수인 두 항 $a_i=M$, $a_j$가 있고 $i<j$라고 합시다. 그러면
$$a_j=M\frac{u^{j-i}}{v^{j-i}}$$
가 정수이므로 서로소 조건에서 $v^{j-i}$가 $M$을 나누어야 합니다. 따라서 $0\le h\le j-i$인 모든 정수 $h$에 대해 $a_{i+h}=Mu^h/v^h$도 정수입니다. 즉 정수인 두 항 사이에 정수가 아닌 항이 끼어들 수 없습니다.
그러므로 정수인 세 항은 연속한 항 $a_j,a_{j+1},a_{j+2}$입니다. 이들의 곱은 가운데 항의 세제곱이므로
$$a_{j+1}^3=216,\qquad a_{j+1}=6$$
입니다.
2단계: 공비의 부호 결정하기
$0<r<1$이라면 수열은 양수인 감소수열입니다. $a_j>6$이고 $a_{j+1}=6$이므로 $a_1\ge a_j>6$, $a_2\ge a_{j+1}=6$입니다. 따라서 $a_1+a_2>12$가 되어 조건 $a_1+a_2<10$에 어긋납니다.
그러므로 $-1<r<0$입니다. 서로소인 자연수 $a>b$를 이용하여 $r=-b/a$로 놓으면 세 정수 항은
$$-\frac{6a}{b},\quad6,\quad-\frac{6b}{a}$$
입니다. 양옆의 항이 정수이고 $a,b$가 서로소이므로 $a,b$는 모두 6의 약수입니다. 가능한 $(a,b)$는 빠짐없이 다음 네 쌍입니다.
$$(2,1),\quad(3,1),\quad(3,2),\quad(6,1)$$
3단계: 공비와 정수 항의 위치 확정하기
$b=1$이면 첫 정수 항은 $-6a$입니다. 첫째항은 양수이므로 이 음수 항은 첫째항일 수 없고, 그 직전 항 $6a^2$가 존재합니다. 그런데 이것도 정수이므로 정수 항이 적어도 네 개가 되어 모순입니다. 따라서 $(a,b)=(3,2)$만 남고,
$$r=-\frac23$$
이며 세 정수 항은 $-9,6,-4$입니다.
첫 정수 항 $-9$의 위치 $j$는 짝수입니다. $j=2+2h$ ($h$는 0 이상의 정수)로 놓고 앞쪽으로 역산하면
$$a_1=\frac{27}{2}\left(\frac94\right)^h,\qquad a_2=-9\left(\frac94\right)^h$$
입니다. 따라서
$$a_1+a_2=\frac92\left(\frac94\right)^h<10$$
입니다. $h=0$이면 $9/2<10$이지만, $h=1$이면 $81/8>10$이고 이후에는 더 커집니다. 따라서 $h=0$, 즉 $j=2$이고 $a_1=27/2$입니다.
4단계: 급수의 합 구하기
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{a_1}{1-r}=\frac{27/2}{5/3}=\frac{81}{10}$$
입니다. $p=10$, $q=81$은 서로소이므로 $p+q=91$입니다.
검산
수열의 처음 다섯 항은 $27/2,-9,6,-4,8/3$입니다. 첫째항은 양수이고 $a_1+a_2=9/2<10$입니다. $n\ge5$에서는 $a_n=-4(-2/3)^{n-4}$의 분모에 남는 3의 거듭제곱을 분자의 2의 거듭제곱으로 약분할 수 없으므로 정수가 아닙니다. 정수 항은 정확히 세 개이며 그 곱은 $(-9)\cdot6\cdot(-4)=216$입니다.
답
$$91$$