어떤 문제인가
이 문제는 주어진 복잡한 관계식에서 숨겨진 미분 공식의 형태를 찾아내고, 정적분의 성질과 부분적분법(Integration by parts)을 활용하여 원하는 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 로그와 지수의 관계: 로그 식을 지수 형태로 바꾸어 식을 단순화하기
- 곱의 미분법 역산: $(x \cdot e^{f(x)})'$의 형태를 알아채기
- 부분적분법: $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ 공식 활용하기
단계별 풀이
1단계: 복잡한 관계식 단순화하기
먼저 문제에서 주어진 식을 다루기 편하게 바꾸어 봅시다.
$$f(x) = \ln \left( \frac{g(x)}{1+xf'(x)} \right)$$
양변에 자연대수 $e$를 밑으로 하는 지수를 취해주면 로그가 사라집니다.
$$e^{f(x)} = \frac{g(x)}{1+xf'(x)}$$
분모에 있는 $1+xf'(x)$를 양변에 곱해줄까요?
$$e^{f(x)} (1 + xf'(x)) = g(x)$$
괄호를 풀어서 전개해 봅시다.
$$e^{f(x)} + x f'(x) e^{f(x)} = g(x) \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 숨겨진 미분 형태 찾기 (가장 중요!)
(식 1)의 좌변을 가만히 들여다보세요. 무언가를 미분한 형태와 아주 비슷하지 않나요?
우리가 잘 아는 곱의 미분법을 떠올려 봅시다.
함수 $H(x) = x e^{f(x)}$를 설정하고, 이 함수를 $x$에 대해 미분해 보겠습니다.
$$H'(x) = (x)' \cdot e^{f(x)} + x \cdot (e^{f(x)})'$$
$$H'(x) = 1 \cdot e^{f(x)} + x \cdot f'(x) e^{f(x)}$$
어때요? (식 1)의 좌변과 완벽하게 일치하죠?
따라서 우리는 다음과 같은 아주 중요한 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$H(x) = x e^{f(x)} \implies H'(x) = g(x)$$
우리가 구하고자 하는 최종 목표인 $\int_{1}^{2} xe^{f(x)} dx$는 바로 $\int_{1}^{2} H(x) dx$와 같습니다!
3단계: $H(1)$과 $H(2)$의 값 구하기
정적분 값을 구하기 위해 필요한 경계값들을 먼저 구해봅시다.
- **$H(1)$ 구하기:**
문제에서 $f(1) = 4\ln 2 = \ln(2^4) = \ln 16$이라고 주어졌습니다.
$$H(1) = 1 \cdot e^{f(1)} = e^{\ln 16} = 16$$
- **$H(2)$ 구하기:**
문제에서 $\int_{1}^{2} g(x) dx = 34$라고 주어졌습니다. $g(x) = H'(x)$이므로, 미적분학의 기본 정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\int_{1}^{2} g(x) dx = \int_{1}^{2} H'(x) dx = [H(x)]_{1}^{2} = H(2) - H(1) = 34$$
여기에 위에서 구한 $H(1) = 16$을 대입하면,
$$H(2) - 16 = 34 \implies H(2) = 50$$
4단계: 부분적분법을 이용하여 최종 답 구하기
이제 또 다른 조건인 $\int_{1}^{2} xg(x) dx = 53$을 이용할 차례입니다.
$g(x) = H'(x)$이므로 이 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\int_{1}^{2} x H'(x) dx = 53$$
여기에 부분적분법($u = x$, $v' = H'(x)$로 설정)을 적용해 봅시다. ($u' = 1$, $v = H(x)$)
$$\int_{1}^{2} x H'(x) dx = [x H(x)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} H(x) dx = 53$$
좌변의 대괄호 부분을 계산해 볼까요?
$$[x H(x)]_{1}^{2} = 2H(2) - 1H(1)$$
우리가 구한 $H(1) = 16$, $H(2) = 50$을 대입하면,
$$2(50) - 16 = 100 - 16 = 84$$
이 값을 부분적분 식에 다시 대입합니다.
$$84 - \int_{1}^{2} H(x) dx = 53$$
따라서 우리가 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$\int_{1}^{2} H(x) dx = 84 - 53 = 31$$
답
$$\mathbf{31}$$
확인해보기
이번 문제에서 배운 부분적분법의 원리를 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
> 질문:
> 미분가능한 함수 $F(x)$에 대하여 $F'(x) = h(x)$이고, $F(1) = 2$, $F(3) = 5$입니다.
> 이때 $\int_{1}^{3} x h(x) dx = 10$이라면, $\int_{1}^{3} F(x) dx$의 값은 얼마일까요?
> (위의 4단계 풀이 과정을 참고하여 스스로 계산해 보세요!)